Матричный способ решения матрицы. Решение системы линейных уравнений с помощью матриц

⁰

(иногда этот способ именуют ещё матричным методом или методом обратной матрицы) требует предварительного ознакомления с таким понятием как матричная форма записи СЛАУ . Метод обратной матрицы предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений, у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Суть метода обратной матрицы можно выразить в трёх пунктах:

Записать три матрицы: матрицу системы $A$, матрицу неизвестных $X$, матрицу свободных членов $B$.
Найти обратную матрицу $A^{-1}$.
Используя равенство $X=A^{-1}\cdot B$ получить решение заданной СЛАУ.

Любую СЛАУ можно записать в матричной форме как $A\cdot X=B$, где $A$ - матрица системы, $B$ - матрица свободных членов, $X$ - матрица неизвестных. Пусть матрица $A^{-1}$ существует. Умножим обе части равенства $A\cdot X=B$ на матрицу $A^{-1}$ слева:

$$A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B.$$

Так как $A^{-1}\cdot A=E$ ($E$ - единичная матрица), то записанное выше равенство станет таким:

$$E\cdot X=A^{-1}\cdot B.$$

Так как $E\cdot X=X$, то:

$$X=A^{-1}\cdot B.$$

Пример №1

Решить СЛАУ $ \left \{ \begin{aligned} & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end{aligned} \right.$ с помощью обратной матрицы.

$$ A=\left(\begin{array} {cc} -5 & 7\\ 9 & 8 \end{array}\right);\; B=\left(\begin{array} {c} 29\\ -11 \end{array}\right);\; X=\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \end{array}\right). $$

Найдём обратную матрицу к матрице системы, т.е. вычислим $A^{-1}$. В примере №2

$$ A^{-1}=-\frac{1}{103}\cdot\left(\begin{array}{cc} 8 & -7\\ -9 & -5\end{array}\right). $$

Теперь подставим все три матрицы ($X$, $A^{-1}$, $B$) в равенство $X=A^{-1}\cdot B$. Затем выполним умножение матриц

$$ \left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \end{array}\right)= -\frac{1}{103}\cdot\left(\begin{array}{cc} 8 & -7\\ -9 & -5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array} {c} 29\\ -11 \end{array}\right)=\\ =-\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {c} 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (-11) \end{array}\right)= -\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {c} 309\\ -206 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} -3\\ 2\end{array}\right). $$

Итак, мы получили равенство $\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} -3\\ 2\end{array}\right)$. Из этого равенства имеем: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Ответ : $x_1=-3$, $x_2=2$.

Пример №2

Решить СЛАУ $ \left\{\begin{aligned} & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end{aligned}\right.$ методом обратной матрицы.

Запишем матрицу системы $A$, матрицу свободных членов $B$ и матрицу неизвестных $X$.

$$ A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end{array}\right);\; B=\left(\begin{array} {c} -1\\0\\6\end{array}\right);\; X=\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right). $$

Теперь настал черёд найти обратную матрицу к матрице системы, т.е. найти $A^{-1}$. В примере №3 на странице, посвящённой нахождению обратных матриц, обратная матрица была уже найдена. Воспользуемся готовым результатом и запишем $A^{-1}$:

$$ A^{-1}=\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right). $$

Теперь подставим все три матрицы ($X$, $A^{-1}$, $B$) в равенство $X=A^{-1}\cdot B$, после чего выполним умножение матриц в правой части данного равенства.

$$ \left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)= \frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {c} -1\\0\\6\end{array}\right)=\\ =\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {c} 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0+1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end{array}\right)=\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {c} 0\\-104\\234\end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} 0\\-4\\9\end{array}\right) $$

Итак, мы получили равенство $\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} 0\\-4\\9\end{array}\right)$. Из этого равенства имеем: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

Назначение сервиса . С помощью данного онлайн-калькулятора вычисляются неизвестные {x 1 , x 2 , ..., x n } в системе уравнений. Решение осуществляется методом обратной матрицы . При этом:

вычисляется определитель матрицы A ;
через алгебраические дополнения находится обратная матрица A -1 ;
осуществляется создание шаблона решения в Excel ;

Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word (см. пример оформления).

Инструкция . Для получения решения методом обратной матрицы необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполнить матрицу A и вектор результатов B .

См. также Решение матричных уравнений .

Алгоритм решения

Вычисляется определитель матрицы A . Если определитель равен нулю, то конец решения. Система имеет бесконечное множество решений.
При определителе отличном от нуля, через алгебраические дополнения находится обратная матрица A -1 .
Вектор решения X ={x 1 , x 2 , ..., x n } получается умножением обратной матрицы на вектор результата B .

Пример . Найти решение системы матричным методом. Запишем матрицу в виде:
Алгебраические дополнения.

A 1,1 = (-1) 1+1

1	2
0	-2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1) 1+2

3	2
1	-2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1,3 = (-1) 1+3

3	1
1	0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2,1 = (-1) 2+1

-2	1
0	-2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

2	1
1	-2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2,3 = (-1) 2+3

2	-2
1	0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3,1 = (-1) 3+1

-2	1
1	2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

-2

-1

X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Проверка:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

Рассмотрим систему линейных уравнений с многими переменными:

где aij- коэффициенты при неизвестных хi; bi-свободные члены;

индексы: i = 1,2,3…m- определяют номер уравнения и j = 1,2,3...n- номер неизвестного.

Определение: Решением системы уравнений (5) называется совокупность n чисел (х10, х20,….хn0), при подстановке которых в систему все уравнения обращаются в верные числовые тождества.

Определение: Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение (х10, х20,….хn0), и неопределенной, если таких решений несколько.

Определение: Система называется несовместной, если она не имеет решения.

Определение: Таблицы, составленные из числовых коэффициентов (aij) и свободных членов (bi) системы уравнений (5), называются матрицей системы (А) и расширенной матрицей (А1), которые обозначаются в виде:

Определение: Матрица системы А, имеющая неравное число строк и столбцов (n?m), называется прямоугольной. Если число строк и столбцов совпадает (n=m), то матрица называется квадратной.

Если в системе число неизвестных равно числу уравнений (n=m), то система имеет квадратную матрицу n-го порядка.

Выделим в матрице А k-произвольных строк и k-произвольных столбцов (km, kn).

Определение: Определитель k-порядка, составленный из элементов матрицы А, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k-порядка матрицы А.

Рассмотрим всевозможные миноры матрицы А. Если все миноры (k+1)-порядка равны нулю, а хотя бы один из миноров k-порядка не равен нулю, то говорят, что матрица имеет ранг равный k.

Определение: Рангом матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Ранг матрицы обозначается через r(A).

Определение: Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным.

Определение: Если для двух матриц А и В их ранги совпадают r(A)= r(В), то эти матрицы называются эквивалентными и обозначаются А В.

Ранг матрицы не изменится от элементарных, эквивалентных преобразований, которые включают:

1. Замену строк столбцами, а столбцов - соответствующими строками;
2. Перестановку строк или столбцов местами;
3. Вычеркивание строк или столбцов, все элементы которых равны нулю;
4. Умножение или деление строки или столбца на число, отличное от нуля;
5. Прибавление или вычитание элементов одной строки или столбца из другой, умноженной на любое число.

При определении ранга матрицы используют эквивалентные преобразования, с помощью которых исходную матрицу приводят к ступенчатой (треугольной) матрице.

В ступенчатой матрице под главной диагональю располагаются нулевые элементы, причем первый ненулевой элемент каждой её строки, начиная со второй, расположен правее первого неравного нулю элемента предыдущей строки.

Отметим, что ранг матрицы равен числу ненулевых строк ступенчатой матрицы.

Например, матрица А= - ступенчатого вида и её ранг равен числу ненулевых строк матрицы r(A)=3. Действительно, все миноры 4-го порядка с нулевыми элементами 4-ой строки равны нулю, а миноры 3-го порядка отличны от нуля. Для проверки вычислим определитель минора первых 3-х строк и3-х столбцов:

Любую матрицу можно привести к ступенчатой путем обнуления элементов матрицы под главной диагональю с помощью элементарных действий.

Вернемся к исследованию и решению системы линейных уравнений (5).

Важную роль в исследовании систем линейных уравнений играет Теорема Кронекера-Капели. Сформулируем эту теорему.

Теорема Кронекера-Капели: Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы А1, т.е. r(A)=r(A1). В случае совместности система является определенной, если ранг матрицы системы равен числу неизвестных, т.е. r(A)=r(A1)=n и неопределенной, если этот ранг меньше числа неизвестных, т.е. r(A)= r(A1)

Пример. Исследовать систему линейных уравнений:

Определим ранги матрицы системы А и расширенной матрицы А1. Для этого составим расширенную матрицу А1 и приведем её к ступенчатому виду.

При приведении матрицы выполним следующие действия:

2) вычтем из 3 и 4 строк 1-ю строку, умноженную на 4;
3) умножим 4-ю строку на (-1) и поменяем местами со 2-ой строкой;
4) сложим 3 и 4 строки со 2-й строкой, умноженной соответственно на 5 и 4;
5) вычитаем из 4-ой строки 3-ю и вычеркиваем 4-ю строку с нулевыми элементами.

В результате выполненных действий получили ступенчатую матрицу с тремя ненулевыми строками как в матрице системы (до черты), так и в расширенной матрице. Откуда видно, что ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен 3, но меньше числа неизвестных (n=4).

Ответ: т.к. r(A)=r(A1)=3

В связи с тем, что ранг матриц удобно определять путем приведения их к ступенчатому виду, рассмотрим способ решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

метод Гаусса

Сущность метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвес тных путем приведения к ступенчатому виду расширенной матрицы А1, которая включает до черты матрицу системы А. При этом одновременно определяются ранги матриц А, А1 и проводится исследование системы по теореме Кронекера-Капели. На последнем этапе решают систему уравнений ступенчатого вида, делая подстановки снизу вверх найденных значений неизвестных.

Рассмотрим применение метода Гаусса и теоремы Кронекера-Капели на примере.

Пример. Решить систему методом Гаусса:

Определим ранги матрицы системы А и расширенной матрицы А1. Для этого составим расширенную матрицу А1 и приведем её к ступенчатому виду. При приведении выполним следующие действия:

1) вычтем из 2-ой строки 1-ю строку;
2) вычтем из 3-ей строки 1-ю строку, умноженную на 2;
3) разделим 2-ю строку на (-2),а 3-ю строки умножим на (-1) и поменяем их местами.

Получили ступенчатую матрицу, у которой число строк равно 3, причем у матрицы системы (до черты) также нет нулевых сток. Следовательно, ранги матрицы системы и расширенной матрицы равны 3 и равны числу неизвестных, т.е. r(A)=r(A1)=n=3.. Согласно теореме Кронекера-Капели система совместна и определена, имеет единственное решение.

В результате преобразования матрицы А1, обнуляя коэффициенты при неизвестных, последовательно исключили их из уравнений и получили ступенчатую (треугольную) систему уравнений:

Двигаясь последовательно снизу вверх, подставляя решение (х3=1) из третьего уравнения во второе, а решения (х2=1, х3=1) из второго и третьего уравнений в первое, получим решение системы уравнений: х1=1,х2=1, х3=1.

Проверка: -(!) Ответ: (х1=1,х2=1, х3=1).

метод Жордано-Гаусса

Данную систему можно решить усовершенствованным методом Жордано-Гаусса, который заключается в том, что матрицу системы А в расширенной матрице (до черты) приводят к единичной матрице: Е= с единичными диагональными и нулевыми недиагональными элементами и получают сразу решение системы без дополнительных подстановок.

Решим рассмотренную выше систему методом Жордано-Гаусса. Для этого преобразуем полученную ступенчатую матрицу в единичную, выполнив следующие действия:

1) вычтем из 1-ой строки 2-ю строку;
2) сложим с 1-ой строкой 3-ю строку, умноженную на 3;
3) вычтем из 2-ой строки 3-ю строку, умноженную на 4.

Исходная система уравнений свелась к системе:, которая и определяет решение.

основные действия с матрицами

Пусть даны две матрицы: А= B=.

1. Матрицы равны А=В, если равны их одноименные элементы:aij=bij
2. Суммой (разностью) матриц (А ± В) называется матрица, определяемая равенством:

При суммировании (вычитании) матриц складываются (вычитаются) их одноименные элементы.

3. Произведением числа k на матрицу A называется матрица, определяемая равенством:

При умножении матрицы на число умножаются на это число все элементы матрицы.

4. Произведением матриц АВ называется матрица, определяемая равенством:

При умножении матриц элементы строк первой матрицы умножаются на элементы столбцов второй матрицы и суммируются, причем элемент матрицы-произведения, стоящий в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки первой матрицы и j-м столбца второй матрицы.

При умножении матриц в общем случае переместительный закон не действует, т.е. АВ?ВА.

5. Транспонированием матрицы А называется действие, приводящее к замене строк столбцами, а столбцов - соответствующими строками.

Матрица АТ= называется транспонированной матрицей для матрицы А=.

Если определитель матрицы А не равен нулю (Д?0), то такую матрицу называют невырожденной. Для всякой невырожденной матрицы А существует обратная матрица А-1, для которой выполняется равенство: А-1 А= А А-1=Е, где Е=- единичная матрица.

6. Обращением матрицы А называется такие действия, при которых получается обратная матрица А-1

При обращении матрицы А выполняются следующие действия.

Данный онлайн калькулятор решает систему линейных уравнений матричным методом. Дается очень подробное решение. Для решения системы линейных уравнений выберите количество переменных. Выбирайте метод вычисления обратной матрицы. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку "Вычислить".

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

Учитывая определение обратной матрицы, имеем A −1 A =E , где E - единичная матрица. Следовательно (4) можно записать так:

Таким образом, для решения системы линейных уравнений (1) (или (2)), достаточно умножить обратную к A матрицу на вектор ограничений b .

Примеры решения системы линейных уравнений матричным методом

Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

Найдем обратную к матрице A методом Жордана-Гаусса. С правой стороны матрицы A запишем единичную матрицу:

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/3,-1/3 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -24/51:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/17:

Отделяем правую часть матрицы. Полученная матрица является обратной матрицей к A :

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b , где

Вычислим все алгебраические дополнения матрицы A :

где A ij − алгебраическое дополнение элемента матрицы A , находящиеся на пересечении i -ой строки и j -ого столбца, а Δ − определитель матрицы A .

Используя формулу обратной матрицы, получим: