Метод вариаций. Метод лагранжа вариации произвольных постоянных
Обратимся к рассмотрению линейных неоднородных дифференциальных уравнений вида
где
- искомая функция аргумента,
а функции
заданы и непрерывны на некотором
интервале
.
Введем в рассмотрение линейное однородное уравнение, левая часть которого совпадает с левой частью неоднородного уравнения (2.31),
Уравнение вида (2.32) называют однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (2.31).
Имеет место следующая теорема о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения (2.31).
Теорема 2.6. Общее решение линейного неоднородного уравнения (2.31) в области
есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (2.32) в области (2.33), т.е.
где
- частное решение уравнения (2.31),
- фундаментальная система решений
однородного уравнения (2.32), а
-
произвольные постоянные.
Доказательство этой теоремы Вы найдете в .
На примере дифференциального уравнения второго порядка изложим метод, при помощи которого можно найти частное решение линейного неоднородного уравнения. Этот метод называют методом Лагранжа вариации произвольных постоянных .
Итак, пусть дано неоднородное линейное уравнение
(2.35)
где
коэффициенты
и правая часть
непрерывны в некотором интервале
.
Обозначим
через
и
фундаментальную систему решений
однородного уравнения
(2.36)
Тогда его общее решение имеет вид
(2.37)
где и- произвольные постоянные.
Будем искать решение уравнения (2.35) в таком же виде, как и общее решение соответствующего однородного уравнения, заменяя произвольные постоянные некоторыми дифференцируемыми функциями от (варьируем произвольные постоянные), т.е.
где
и
- некоторые дифференцируемые функции
от,
которые пока неизвестны и которые
попытаемся определить так, чтобы функция
(2.38) была бы решением неоднородного
уравнения (2.35). Дифференцируя обе части
равенства (2.38), получим
Чтобы
при вычислении
не появились производные второго порядка
от
и
,
потребуем, чтобы всюду в
выполнялось условие
Тогда для будем иметь
Вычислим вторую производную
Подставляя выражения для,,из (2.38), (2.40), (2.41) в уравнение (2.35), получим
Выражения,
стоящие в квадратных скобках, равны
нулю всюду в
,
так каки- частные решения уравнения (2.36). При
этом (2.42) примет видОбъединяя это условие с условием (2.39),
получим систему уравнений для определения
и
(2.43)
Последняя
система представляет собой систему
двух алгебраических линейных неоднородных
уравнений относительно
и
.
Определителем этой системы является
определитель Вронского для фундаментальной
системы решений,и, следовательно, отличен от нуля всюду
в
.
Это означает, что система (2.43) имеет
единственное решение. Решив ее любым
способом относительно
,
найдем
где
и
- известные функции.
Выполняя
интегрирование и учитывая, что в качестве
,
следует брать одну какую-нибудь пару
функций, положим постоянные интегрирования
равными нулю. Получим
Подставив выражения (2.44) в соотношения (2.38), сможем записать искомое решение неоднородного уравнения (2.35) в виде
Этот метод можно обобщить для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения -го порядка.
Пример
2.6
. Решить
уравнение
при
если функции
образуют фундаментальную систему
решений соответствующего однородного
уравнения.
Найдем
частное решение данного уравнения. Для
этого в согласии с методом Лагранжа
следует сначала решить систему (2.43),
которая в нашем случае имеет вид
Сократив обе части каждого из уравнений
наполучим
Вычитая
почленно из второго уравнения первое,
найдем
а тогда из первого уравнения следует
Выполняя интегрирование и полагая
постоянные интегрирования равными
нулю, будем иметь
Частное решение данного уравнения можно представить в виде
Общее решение данного уравнения имеет при этом вид
где и- произвольные постоянные.
Отметим, наконец, одно замечательное свойство, которое часто называют принципом наложения решений и описывают следующей теоремой.
Теорема
2.7.
Если на
промежутке
функция
- частное решение уравненияа функция
частное решение уравнениято на этом же промежутке функция
есть частное решение уравнения
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение
. (2)
Пусть y 1 ,y 2 ,.., y n - фундаментальная система решений, а - общее решение соответствующего однородного уравнения L(y)=0 . Аналогично случаю уравнений первого порядка, будем искать решение уравнения (2) в виде
. (3)
Убедимся в том, что решение в таком виде существует. Для этого подставим функцию в уравнение. Для подстановки этой функции в уравнение найдём её производные. Первая производная равна
. (4)
При вычислении второй производной в правой части (4) появится четыре слагаемых, при вычислении третьей производной - восемь слагаемых и так далее. Поэтому, для удобства дальнейшего счёта, первое слагаемое в (4) полагают равным нулю. С учётом этого, вторая производная равна
. (5)
По тем же, что и раньше, соображениям, в (5) также полагаем первое слагаемое равным нулю. Наконец, n-я производная равна
. (6)
Подставляя полученные значения производных в исходное уравнение, имеем
. (7)
Второе слагаемое в (7) равно нулю, так как функции y j , j=1,2,..,n, являются решениями соответствующего однородного уравнения L(y)=0. Объединяя с предыдущим, получаем систему алгебраических уравнений для нахождения функций C" j (x)
(8)
Определитель этой системы есть определитель Вронского фундаментальной системы решений y 1 ,y 2 ,..,y n соответствующего однородного уравнения L(y)=0 и поэтому не равен нулю. Следовательно, существует единственное решение системы (8). Найдя его, получим функции C" j (x), j=1,2,…,n, а, следовательно, и C j (x), j=1,2,…,n Подставляя эти значения в (3), получаем решение линейного неоднородного уравнения.
Изложенный метод называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.
Пример №1 . Найдём общее решение уравнения y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y"" + 4y" + 3y = 0. Корни его характеристического уравнения r 2 + 4r + 3 = 0 равны -1 и -3. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y 1 = e - x и y 2 = e -3 x . Решение неоднородного уравнения ищем в виде y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x . Для нахождения производных C" 1 , C" 2 составляем систему уравнений (8)
решая которую, находим , Интегрируя полученные функции, имеем
Окончательно получим
Пример №2
. Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4
Корни характеристического уравнения: r 1 = 4, r 2 = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y 1 = e 4x , y 2 = e 2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C" i составляем систему уравнений:
C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Выразим C" 1 из первого уравнения:
C" 1 = -c 2 e -2x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Интегрируем полученные функции C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
Поскольку , то записываем полученные выражения в виде:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
или
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Найдем частное решение при условии:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Подставляя x = 0, в найденное уравнение, получим:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Находим первую производную от полученного общего решения:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Подставляя x = 0, получим:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Получаем систему из двух уравнений:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
или
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C 2 = 2
Откуда:
C 1 = 0, C * 2 = 2
Частное решение запишется как:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами произвольного n-го порядка:
(1)
.
Метод вариации постоянной, рассмотренный нами для уравнения первого порядка , также применим и для уравнений более высоких порядков.
Решение выполняется в два этапа. На первом этапе мы отбрасываем правую часть и решаем однородное уравнение. В результате получаем решение, содержащее n произвольных постоянных. На втором этапе мы варьируем постоянные. То есть мы считаем, что эти постоянные являются функциями от независимой переменной x и находим вид этих функций.
Хотя мы здесь рассматриваем уравнения с постоянными коэффициентами, но метод Лагранжа также применим и для решения любых линейных неоднородных уравнений . Для этого, однако, должна быть известна фундаментальная система решений однородного уравнения.
Шаг 1. Решение однородного уравнения
Как и в случае уравнений первого порядка, вначале мы ищем общее решение однородного уравнения, приравнивая правую неоднородную часть к нулю:
(2)
.
Общее решение такого уравнения имеет вид:
(3)
.
Здесь - произвольные постоянные; - n
линейно независимых решений однородного уравнения (2), которые образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.
Шаг 2. Вариация постоянных - замена постоянных функциями
На втором этапе мы займемся вариацией постоянных. Другими словами, мы заменим постоянные на функции от независимой переменной x
:
.
То есть мы ищем решение исходного уравнения (1) в следующем виде:
(4)
.
Если мы подставим (4) в (1), то получим одно дифференциальное уравнение для n функций . При этом мы можем связать эти функции дополнительными уравнениями. Тогда получится n уравнений, из которых можно определить n функций . Дополнительные уравнения можно составить различными способами. Но мы это сделаем так, чтобы решение имело наиболее простой вид. Для этого, при дифференцировании, нужно приравнивать к нулю члены, содержащие производные от функций . Продемонстрируем это.
Чтобы подставить предполагаемое решение (4) в исходное уравнение (1), нам нужно найти производные первых n
порядков от функции, записанной в виде (4). Дифференцируем (4), применяя правила дифференцирования суммы
и произведения
:
.
Сгруппируем члены. Сначала выпишем члены с производными от ,
а затем - члены с производными от :
.
Наложим на функции первое условие:
(5.1)
.
Тогда выражение для первой производной по будет иметь более простой вид:
(6.1)
.
Тем же способом находим вторую производную:
.
Наложим на функции второе условие:
(5.2)
.
Тогда
(6.2)
.
И так далее. В дополнительных условиях, мы приравниваем члены, содержащие производные функций ,
к нулю.
Таким образом, если выбрать следующие дополнительные уравнения для функций :
(5.k)
,
то первые производных по будут иметь наиболее простой вид:
(6.k)
.
Здесь .
Находим n
-ю производную:
(6.n)
.
Подставляем в исходное уравнение (1):
(1)
;
.
Учтем, что все функции удовлетворяют уравнению (2):
.
Тогда сумма членов, содержащих дают нуль. В итоге получаем:
(7)
.
В результате мы получили систему линейных уравнений для производных :
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1)
;
(7′)
.
Решая эту систему, находим выражения для производных как функции от x
.
Интегрируя, получим:
.
Здесь - уже не зависящие от x
постоянные. Подставляя в (4), получаем общее решение исходного уравнения.
Заметим, что для определения величин производных мы нигде не использовали тот факт, что коэффициенты a i являются постоянными. Поэтому метод Лагранжа применим для решения любых линейных неоднородных уравнений , если известна фундаментальная система решений однородного уравнения (2).
Примеры
Решить уравнения методом вариации постоянных (Лагранжа).
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1)
.
Существует три способа решения этого уравнения:
- метод вариации постоянной (Лагранжа).
Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа.
Метод вариации постоянной (Лагранжа)
В методе вариации постоянной мы решаем уравнение в два этапа. На первом этапе мы упрощаем исходное уравнение и решаем однородное уравнение. На втором этапе мы заменим постоянную интегрирования, полученную на первой стадии решения, на функцию. После чего ищем общее решение исходного уравнения.
Рассмотрим уравнение:
(1)
Шаг 1 Решение однородного уравнения
Ищем решение однородного уравнения:
Это уравнение с разделяющимися переменными
Разделяем переменные - умножаем на dx
,
делим на y
:
Интегрируем:
Интеграл по y
- табличный :
Тогда
Потенцируем:
Заменим постоянную e C
на C
и уберем знак модуля, что сводится к умножению на постоянную ±1
,
которую включим в C
:
Шаг 2 Заменим постоянную C на функцию
Теперь заменим постоянную C
на функцию от x
:
C → u(x)
То есть, будем искать решение исходного уравнения (1)
в виде:
(2)
Находим производную.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.
По правилу дифференцирования произведения:
.
Подставляем в исходное уравнение (1)
:
(1)
;
.
Два члена сокращаются:
;
.
Интегрируем:
.
Подставляем в (2)
:
.
В результате получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.
Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа
Решить уравнение
Решение
Решаем однородное уравнение:
Разделяем переменные:
Умножим на :
Интегрируем:
Интегралы табличные :
Потенцируем:
Заменим постоянную e C
на C
и убираем знаки модуля:
Отсюда:
Заменим постоянную C
на функцию от x
:
C → u(x)
Находим производную:
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
;
Или:
;
.
Интегрируем:
;
Решение уравнения:
.