50 существует ли плотность у биномиального распределения. Биномиальный закон распределения

⁰

В отличие от нормального и равномерного распределений, описывающих поведение переменной в исследуемой выборке испытуемых, биномиальное распределение используется для иных целей. Оно служит для прогнозирования вероятности двух взаимоисключающих событий в некотором числе независимых друг от друга испытаний. Классический пример биномиального распределения – подбрасывание монеты, которая падает на твердую поверхность. Равновероятны два исхода (события): 1) монета падает «орлом» (вероятность равна р ) или 2) монета падает «решкой» (вероятность равна q ). Если третьего исхода не дано, то p = q = 0,5 и p + q = 1. Используя формулу биномиального распределения, можно определить, например, какова вероятность того, что в 50 испытаниях (число подбрасываний монеты) последняя выпадет «орлом», предположим, 25 раз.

Для дальнейших рассуждений введем общепринятые обозначения:

n – общее число наблюдений;

i – число интересующих нас событий (исходов);

n – i – число альтернативных событий;

p – эмпирически определенная (иногда – предполагаемая) вероятность интересующего нас события;

q – вероятность альтернативного события;

P n (i ) – прогнозируемая вероятность интересующего нас события i по определенному числу наблюдений n .

Формула биномиального распределения:

В случае равновероятного исхода событий (p = q ) можно использовать упрощенную формулу:

(6.8)

Рассмотрим три примера, иллюстрирующие использование формул биномиального распределения в психологических исследованиях.

Пример 1

Предположим, что 3 студента решают задачу повышенной сложности. Для каждого из них равновероятны 2 исхода: (+) – решение и (-) – нерешение задачи. Всего возможно 8 разных исходов (2 3 = 8).

Вероятность того, что ни один студент не справится с задачей, равна 1/8 (вариант 8); 1 студент справится с задачей: P = 3/8 (варианты 4, 6, 7); 2 студента – P = 3/8 (варианты 2, 3, 5) и 3 студента – P =1/8 (вариант 1).

Необходимо определить вероятность того, что трое из 5 студентов успешно справятся с данной задачей.

Решение

Всего возможных исходов: 2 5 = 32.

Общее число вариантов 3(+) и 2(-) составляет

Следовательно, вероятность ожидаемого исхода равна 10/32 » 0,31.

Пример 3

Задание

Определить вероятность того, что в группе из 10 случайных испытуемых обнаружится 5 экстравертов.

Решение

1. Вводим обозначения: p = q = 0,5; n = 10; i = 5; P 10 (5) = ?

2. Используем упрощенную формулу (см. выше):

Вывод

Вероятность того, что среди 10 случайных испытуемых обнаружится 5 экстравертов, составляет 0,246.

Примечания

1. Вычисление по формуле при достаточно большом числе испытаний достаточно трудоемко, поэтому в этих случаях рекомендуется использовать таблицы биномиального распределения.

2. В некоторых случаях значения p и q можно задать изначально, но не всегда. Как правило, они вычисляются по результатам предварительных испытаний (пилотажных исследований).

3. В графическом изображении (в координатах P n (i ) = f (i )) биномиальное распределение может иметь различный вид: в случае p = q распределение симметрично и напоминает нормальное распределение Гаусса; асимметрия распределения тем больше, чем больше разница между вероятностями p и q .

Распределение Пуассона

Распределение Пуассона является частным случаем биномиального распределения, используемым при очень низкой вероятности интересующих нас событий. Другими словами, это распределение описывает вероятность редких событий. Формулой Пуассона можно пользоваться при p < 0,01 и q ≥ 0,99.

Уравнение Пуассона является приближенным и описывается следующей формулой:

(6.9)

где μ представляет собой произведение средней вероятности события и числа наблюдений.

В качестве примера рассмотрим алгоритм решения следующей задачи.

Условие задачи

За несколько лет в 21 крупной клинике России было проведено массовое обследование новорожденных на предмет заболевания младенцев болезнью Дауна (выборка в среднем составляла 1000 новорожденных в каждой клинике). Были получены следующие данные:

Задание

1. Определить среднюю вероятность заболевания (в пересчете на число новорожденных).

2. Определить, на какое число новорожденных в среднем приходится одно заболевание.

3. Определить вероятность того, что среди 100 случайно выбранных новорожденных обнаружится 2 младенца с болезнью Дауна.

Решение

1. Определяем среднюю вероятность заболевания. При этом мы должны руководствоваться следующими рассуждениями. Болезнь Дауна зарегистрирована лишь в 10 клиниках из 21. В 11 клиниках заболеваний не обнаружено, в 6 клиниках зарегистрировано по 1 случаю, в 2 клиниках – 2 случая, в 1-й клинике – 3 и в 1-й клинике – 4 случая болезни. 5 случаев заболевания не было обнаружено ни в одной клинике. Для того чтобы определить среднюю вероятность заболевания, необходимо общее число случаев (6·1 + 2·2 + 1·3 + 1·4 = 17) разделить на общее число новорожденных (21000):

2. Число новорожденных, на которое приходится одно заболевание, является величиной обратной средней вероятности, т. е. равно общему числу новорожденных, отнесенному к числу зарегистрированных случаев:

3. Подставляем значения p = 0,00081, n = 100 и i = 2 в формулу Пуассона:

Ответ

Вероятность того, что среди 100 случайно выбранных новорожденных обнаружится 2 младенца с болезнью Дауна, составляет 0,003 (0,3%).

Задачи по теме

Задача 6. 1

Задание

Пользуясь данными задачи 5.1 по времени сенсомоторной реакции, вычислить асимметрию и эксцесс распределения ВР.

Задача 6. 2

200 учащихся выпускных классов были протестированы на уровень интеллектуальности (IQ ). После нормирования полученного распределения IQ по стандартному отклонению были получены следующие результаты:

Задание

Пользуясь критериями Колмогорова и хи-квадрат, определить, соответствует ли полученное распределение показателей IQ нормальному.

Задача 6. 3

У взрослого испытуемого (мужчина 25 лет) исследовалось время простой сенсомоторной реакции (ВР) в ответ на звуковой стимул с постоянной частотой в 1 кГц и интенсивностью 40 дБ. Стимул предъявлялся стократно с интервалами 3 – 5 секунд. Отдельные значения ВР по 100 повторностям распределилось следующим образом:

Задание

1. Построить частотную гистограмму распределения ВР; определить среднее значение ВР и величину стандартного отклонения.

2. Рассчитать коэффициент асимметрии и показатель эксцесса распределения ВР; на основании полученных значений As и Ex сделать вывод о соответствии или несоответствии данного распределения нормальному.

Задача 6. 4

В 1998 году в Нижнем Тагиле окончили школы с золотыми медалями 14 человек (5 юношей и 9 девушек), с серебряными – 26 человек (8 юношей и 18 девушек).

Вопрос

Можно ли утверждать, что девушки получают медали чаще, чем юноши?

Примечание

Соотношение числа юношей и девушек в генеральной совокупности считать равным.

Задача 6. 5

Считается, что число экстравертов и интровертов в однородной группе испытуемых является приблизительно одинаковым.

Задание

Определить вероятность того, что в группе из 10 случайно отобранных испытуемых обнаружится 0, 1, 2, ..., 10 экстравертов. Построить графическое выражение распределения вероятностей обнаружения 0, 1, 2, ..., 10 экстравертов в данной группе.

Задача 6. 6

Задание

Рассчитать вероятность P n (i) функции биномиального распределения при p = 0,3 и q = 0,7 для значений n = 5 и i = 0, 1, 2, ..., 5. Построить графическое выражение зависимости P n (i) = f (i).

Задача 6. 7

В последние годы среди определенной части населения утвердилась вера в астрологические прогнозы. По результатам предварительных опросов установлено, что в астрологию верят около 15% населения.

Задание

Определить вероятность того, что среди 10 случайно выбранных респондентов окажется 1, 2 или 3 человека, верящих в астрологические прогнозы.

Задача 6. 8

Условие задачи

В 42 общеобразовательных школах г. Екатеринбурга и Свердловской области (общее число учащихся 12260 человек) за несколько лет было выявлено следующее число случаев психических заболеваний среди школьников:

Задание

Пусть будет выборочно обследовано 1000 школьников. Рассчитать, какова вероятность того, что среди этой тысячи школьников будет выявлен 1, 2 или 3 психически больных ребенка?

РАЗДЕЛ 7. МЕРЫ РАЗЛИЧИЙ

Постановка проблемы

Предположим, что мы имеем две независимые друг от друга выборки испытуемых х и у . Независимыми выборки считаются тогда, когда один и тот же субъект (испытуемый) фигурирует только в одной выборке. Задача состоит в том, чтобы сравнить между собой эти выборки (два ряда переменных) на предмет их различий. Естественно, что как бы ни были близки между собой значения переменных в первой и второй выборке, какие-то, пусть даже незначительные, различия между ними будут обнаруживаться. С точки же зрения математической статистики нас интересует вопрос, являются ли различия между этими выборками статистически достоверными (статистически значимыми) или недостоверными (случайными).

Наиболее распространенными критериями достоверности различий между выборками являются параметрические меры различий – критерий Стьюдента и критерий Фишера . В ряде случаев используются непараметрические критерии – критерий Q Розенбаума, U-критерий Манна- Уитни и др. Особое место занимает угловое преобразование Фишера φ* , позволяющие сравнивать друг с другом значения, выраженные в процентах (процентных долях). И, наконец, как частный случай, для сравнения выборок могут быть использованы критерии, характеризующие форму распределений выборок – критерий χ 2 Пирсона и критерий λ Колмогорова – Смирнова .

В целях наилучшего усвоения данной темы мы поступим следующим образом. Одну и ту же задачу мы решим четырьмя методами с использованием четырех различных критериев – Розенбаума, Манна-Уитни, Стьюдента и Фишера.

Условие задачи

30 студентов (14 юношей и 16 девушек) во время экзаменационной сессии протестированы по тесту Спилбергера на уровень реактивной тревожности. Получены следующие результаты (табл. 7.1):

Таблица 7.1

Испытуемые

Уровень реактивной тревожности

Юноши

Девушки

Задание

Определить, являются ли статистически достоверными различия уровня реактивной тревожности у юношей и девушек.

Задача представляется вполне типичной для психолога, специализирующегося в области педагогической психологии: кто более остро переживает экзаменационный стресс – юноши или девушки? Если различия между выборками статистически достоверны, то существуют значимые половые различия в данном аспекте; если различия случайны (статистически недостоверны), от данного предположения следует отказаться.

7. 2. Непараметрический критерий Q Розенбаума

Q -критерий Розенбаума основан на сравнении «наложенных» друг на друга ранжированных рядов значений двух независимых переменных. При этом не анализируется характер распределения признака внутри каждого ряда – в данном случае имеет значение лишь ширина неперекрывающихся участков двух ранжированных рядов. При сравнении между собой двух ранжированных рядов переменных возможны 3 варианта:

1. Ранжированные ряды x и y не имеют области перекрытия, т. е. все значения первого ранжированного ряда (x ) больше всех значений второго ранжированного ряда(y ):

В данном случае различия между выборками, определяемые по любому статистическому критерию, безусловно достоверны, и использование критерия Розенбаума не требуется. Тем не менее на практике такой вариант встречается исключительно редко.

2. Ранжированные ряды полностью накладываются друг на друга (как правило, один из рядов находится внутри другого), неперекрывающиеся зоны отсутствуют. В данном случае критерий Розенбаума неприменим.

3. Имеется зона перекрытия рядов, а также две неперекрывающиеся области (N 1 и N 2 ), относящиеся к разным ранжированным рядам (обозначим х – ряд, сдвинутый в сторону больших, y – в сторону меньших значений):

Данный случай является типичным для использования критерия Розенбаума, при использовании которого следует соблюдать следующие условия:

1. Объем каждой выборки должен быть не менее 11.

2. Объемы выборок не должны существенно отличаться друг от друга.

Критерий Q Розенбаума соответствует числу неперекрывающихся значений: Q = N 1 + N 2 . Вывод о достоверности различий между выборками делается в случае, если Q > Q кр. При этом значения Q кр находятся в специальных таблицах (см. Приложение, табл. VIII).

Вернемся к нашей задаче. Введем обозначения: х – выборка девушек, y – выборка юношей. Для каждой выборки строим ранжированный ряд:

х : 28 30 34 34 35 36 37 39 40 41 42 42 43 44 45 46

y : 26 28 32 32 33 34 35 38 39 40 41 42 43 44

Подсчитываем число значений в неперекрывающихся областях ранжированных рядов. В ряду х неперекрывающимися являются значения 45 и 46, т. е. N 1 = 2;в ряду y только 1 неперекрывающееся значение 26, т. е. N 2 = 1. Отсюда, Q = N 1 + N 2 = 1 + 2 = 3.

В табл. VIII Приложения находим, что Q кр . = 7 (для уровня значимости 0,95) и Q кр = 9 (для уровня значимости 0,99).

Вывод

Поскольку Q < Q кр, то по критерию Розенбаума различия между выборками не являются статистически достоверными.

Примечание

Критерий Розенбаума может использоваться независимо от характера распределения переменных, т. е. в данном случае отпадает необходимость использования критериев χ 2 Пирсона и λ Колмогорова для определения типа распределений в обеих выборках.

7. 3. U -критерий Манна – Уитни

В отличие от критерия Розенбаума, U -критерий Манна – Уитни основан на определении зоны перекрытия между двумя ранжированными рядами, т. е. чем меньше зона перекрытия, тем достовернее различия между выборками. Для этого используется специальная процедура преобразования интервальных шкал в ранговые.

Рассмотрим алгоритм вычислений по U -критерию на примере предыдущей задачи.

Таблица 7.2

x, y	R xy	R xy *	R x	R y

26 28 32 32 33 34 35 38 39 40 41 42 43 44		2,5 2,5 5,5 5,5 11,5 11,5 16,5 16,5 18,5 18,5 20,5 20,5 25,5 25,5 27,5 27,5	2,5 11,5 16,5 18,5 20,5 25,5 27,5	1 2,5 5,5 5,5 7 9 11,5 15 16,5 18,5 20,5 23 25,5 27,5
		Σ	276,5	188,5

1. Из двух независимых выборок строим единый ранжированный ряд. В данном случае значения для обеих выборок идут «вперемешку», столбец 1 (x , y ). В целях упрощения дальнейшей работы (в том числе и в компьютерном варианте) следует значения для разных выборок отмечать разным шрифтом (или разным цветом) с учетом того, что в дальнейшем мы будем их разносить по разным столбцам.

2. Преобразуем интервальную шкалу значений в порядковую (для этого переобозначаем все значения ранговыми числами от 1 до 30, столбец 2 (R xy)).

3. Вводим поправки на связанные ранги (одинаковые значения переменной обозначаются одним и тем же рангом при условии, что сумма рангов не изменяется, столбец 3 (R xy *). На этом этапе рекомендуется подсчитать суммы рангов во 2-м и 3-м столбце (если все поправки введены верно, то эти суммы должны быть равны).

4. Разносим ранговые числа в соответствии с их принадлежностью к той или иной выборке (столбцы 4 и 5 (R x и R y)).

5. Проводим вычисления по формуле:

(7.1)

где Т х – наибольшая из ранговых сумм; n x и n y , соответственно, объемы выборок. В данном случае следует иметь в виду, что если T x < T y , то обозначения x и y следует сменить на обратные.

6. Сравниваем полученное значение с табличным (см. Приложения, табл. IX).Вывод о достоверности различий между двумя выборками делается в случае, если U эксп. < U кр. .

В нашем примере U эксп. = 83,5 > U кр. = 71.

Вывод

Различия между двумя выборками по критерию Манна – Уитни не являются статистически достоверными.

Примечания

1. Критерий Манна-Уитни не имеет практически никаких ограничений; минимальные объемы сравниваемых выборок – 2 и 5 человек (см. табл. IX Приложения).

2. Аналогично критерию Розенбаума критерий Манна-Уитни может быть использован применительно к любым выборкам независимо от характера распределения.

Критерий Стьюдента

В отличие от критериев Розенбаума и Манна-Уитни критерий t Стьюдента является параметрическим, т. е. основан на определении основных статистических показателей – средних значений в каждой выборке ( и ) и их дисперсий (s 2 x и s 2 y), рассчитываемых по стандартным формулам (см. раздел 5).

Использование критерия Стьюдента предполагает соблюдение следующих условий:

1. Распределения значений для обеих выборок должны соответствовать закону нормального распределения (см. раздел 6).

2. Суммарный объем выборок должен быть не менее 30 (для β 1 = 0,95) и не менее 100 (для β 2 = 0,99).

3. Объемы двух выборок не должны существенно отличаться друг от друга (не более чем в 1,5 ÷ 2 раза).

Идея критерия Стьюдента достаточно проста. Предположим, что значения переменных в каждой из выборок распределяются по нормальному закону, т. е. мы имеем дело с двумя нормальными распределениями, отличающимися друг от друга по средним значениям и дисперсии (соответственно и , и , см. рис. 7.1).

s x s y

Рис. 7.1. Оценка различий между двумя независимыми выборками: и - средние значения выборок x и y ; s x и s y - стандартные отклонения

Нетрудно понять, что различия между двумя выборками будут тем больше, чем больше разность между средними значениями и чем меньше их дисперсии (или стандартные отклонения).

В случае независимых выборок коэффициент Стьюдента определяют по формуле:

(7.2)

где n x и n y – соответственно численность выборок x и y .

После вычисления коэффициента Стьюдента в таблице стандартных (критических) значений t (см. Приложение, табл. Х) находят величину, соответствующую числу степеней свободы n = n x + n y – 2, и сравнивают ее с рассчитанной по формуле. Если t эксп. £ t кр. , то гипотезу о достоверности различий между выборками отвергают, если же t эксп. > t кр. , то ее принимают. Другими словами, выборки достоверно отличаются друг от друга, если вычисленный по формуле коэффициент Стьюдента больше табличного значения для соответствующего уровня значимости.

В рассмотренной нами ранее задаче вычисление средних значений и дисперсий дает следующие значения: x ср. = 38,5; σ х 2 = 28,40; у ср. = 36,2; σ у 2 = 31,72.

Можно видеть, что среднее значение тревожности в группе девушек выше, чем в группе юношей. Тем не менее эти различия настолько незначительны, что вряд ли они являются статистически значимыми. Разброс значений у юношей, напротив, несколько выше, чем у девушек, но различия между дисперсиями также невелики.

Вывод

t эксп. = 1,14 < t кр. = 2,05 (β 1 = 0,95). Различия между двумя сравниваемыми выборками не являются статистически достоверными. Данный вывод вполне согласуется с таковым, полученным при использовании критериев Розенбаума и Манна-Уитни.

Другой способ определения различий между двумя выборками по критерию Стьюдента состоит в вычислении доверительного интервала стандартных отклонений. Доверительным интервалом называется среднеквадратичное (стандартное) отклонение, деленное на корень квадратный из объема выборки и умноженное на стандартное значение коэффициента Стьюдента для n – 1 степеней свободы (соответственно, и ).

Примечание

Величина = m x называется среднеквадратичной ошибкой (см. раздел 5). Следовательно, доверительный интервал есть среднеквадратичная ошибка, умноженная на коэффициент Стьюдента для данного объема выборки, где число степеней свободы ν = n – 1, и заданного уровня значимости.

Две независимые друг от друга выборки считаются достоверно различающимися, если доверительные интервалы для этих выборок не перекрываются друг с другом. В нашем случае мы имеем для первой выборки 38,5 ± 2,84, для второй 36,2 ± 3,38.

Следовательно, случайные вариации x i лежат в диапазоне 35,66 ¸ 41,34, а вариации y i – в диапазоне 32,82 ¸ 39,58. На основании этого можно констатировать, что различия между выборками x и y статистически недостоверны (диапазоны вариаций перекрываются друг с другом). При этом следует иметь в виду, что ширина зоны перекрытия в данном случае не имеет значения (важен лишь сам факт перекрытия доверительных интервалов).

Метод Стьюдента для зависимых друг от друга выборок (например, для сравнения результатов, полученных при повторном тестировании на одной и той же выборке испытуемых) используют достаточно редко, поскольку для этих целей существуют другие, более информативные статистические приемы (см. раздел 10). Тем не менее, для данной цели в первом приближении можно использовать формулу Стьюдента следующего вида:

(7.3)

Полученный результат сравнивают с табличным значением для n – 1 степеней свободы, где n – число пар значений x и y . Результаты сравнения интерпретируются точно так же, как и в случае вычисления различий между двумя независимыми выборками.

Критерий Фишера

Критерий Фишера (F ) основан на том же принципе, что и критерий Стьюдента, т. е. предполагает вычисление средних значений и дисперсий в сравниваемых выборках. Чаще всего используется при сравнении между собой неравноценных по объему (разных по численности) выборок. Критерий Фишера является несколько более жестким, чем критерий Стьюдента, а потому более предпочтителен в тех случаях, когда возникают сомнения в достоверности различий (например, если по критерию Стьюдента различия достоверны при нулевом и недостоверны при первом уровне значимости).

Формула Фишера выглядит следующим образом:

(7.4)

где и (7.5, 7.6)

В рассматриваемой нами задаче d 2 = 5,29; σ z 2 = 29,94.

Подставляем значения в формулу:

В табл. ХI Приложений находим, что для уровня значимости β 1 = 0,95 и ν = n x + n y – 2 = 28 критическое значение составляет 4,20.

Вывод

F = 1,32 < F кр. = 4,20. Различия между выборками статистически недостоверны.

Примечание

При использовании критерия Фишера должны соблюдаться те же условия, что и для критерия Стьюдента (см. подраздел 7.4). Тем не менее допускается различие в численности выборок более чем в два раза.

Таким образом, при решении одной и той же задачи четырьмя различными методами с использованием двух непараметрических и двух параметрических критериев мы пришли к однозначному выводу о том, что различия между группой девушек и группой юношей по уровню реактивной тревожности недостоверны (т. е. находятся в пределах случайных вариаций). Однако могут встретиться и такие случаи, когда сделать однозначный вывод не представляется возможным: одни критерии дают достоверные, другие – недостоверные различия. В этих случаях приоритет отдается параметрическим критериям (при условии достаточности объема выборок и нормального распределения исследуемых величин).

7. 6. Критерий j* - угловое преобразование Фишера

Критерий j*Фишера предназначен для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта. Он оценивает достоверность различий между процентными долями двух выборок, в которых зарегистрирован интересующий нас эффект. Допускается также сравнение процентных соотношений и в пределах одной выборки.

Суть углового преобразования Фишера состоит в переводе процентных долей в величины центрального угла, который измеряется в радианах. Большей процентной доле будет соответствовать больший угол j , а меньшей доле – меньший угол, но отношения здесь нелинейные:

где Р – процентная доля, выраженная в долях единицы.

При увеличении расхождения между углами j 1 и j 2 и увеличении численности выборок значение критерия возрастает.

Критерий Фишера вычисляется по следующей формуле:

где j 1 – угол, соответствующий большей процентной доле; j 2 – угол, соответствующий меньшей процентной доле; n 1 и n 2 – соответственно, объем первой и второй выборок.

Вычисленное по формуле значение сравнивается со стандартным (j* ст = 1,64 для b 1 = 0,95 и j* ст = 2,31 для b 2 = 0,99. Различия между двумя выборками считаются статистически достоверными, если j*> j* ст для данного уровня значимости.

Пример

Нас интересует, различаются ли между собой две группы студентов по успешности выполнения достаточно сложной задачи. В первой группе из 20 человек с ней справилось 12 студентов, во второй – 10 человек из 25.

Решение

1. Вводим обозначения: n 1 = 20, n 2 = 25.

2. Вычисляем процентные доли Р 1 и Р 2: Р 1 = 12 / 20 = 0,6 (60%), Р 2 = 10 / 25 = 0,4 (40%).

3. В табл. XII Приложений находим соответствующие процентным долям значения φ: j 1 = 1,772, j 2 = 1,369.

Отсюда:

Вывод

Различия между группами не являются статистически достоверными, поскольку j* < j* ст для 1-го и тем более для 2-го уровня значимости.

7.7. Использование критерия χ2 Пирсона и критерия λ Колмогорова

Биномиальное распределение

распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях. Если при каждом испытании вероятность появления события равна р, причём 0 ≤ p ≤ 1, то число μ появлений этого события при n независимых испытаниях есть случайная величина, принимающая значения m = 1, 2,.., n с вероятностями

где q = 1 - p, a - биномиальные коэффициенты (отсюда название Б. р.). Приведённая формула иногда называется формулой Бернулли. Математическое ожидание и Дисперсия величины μ, имеющей Б. р., равны М (μ) = np и D (μ) = npq , соответственно. При больших n, в силу Лапласа теоремы (См. Лапласа теорема), Б. р. близко к нормальному распределению (См. Нормальное распределение), чем и пользуются на практике. При небольших n приходится пользоваться таблицами Б. р.

Лит.: Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1965.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Биномиальное распределение" в других словарях:

Функция вероятности … Википедия

- (binomial distribution) Распределение, позволяющее рассчитать вероятность наступления какого либо случайного события, полученного в результате наблюдений ряда независимых событий, если вероятность наступления, составляющих его элементарных… … Экономический словарь

- (распределение Бернулли) распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна p(0 p 1). Именно, число? появлений этого события есть… … Большой Энциклопедический словарь

биномиальное распределение - — Тематики электросвязь, основные понятия EN binomial distribution …

- (распределение Бернулли), распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна р (0≤р≤1). Именно, число μ появлений этого события… … Энциклопедический словарь

биномиальное распределение - 1.49. биномиальное распределение Распределение вероятностей дискретной случайной величины X, принимающей любые целые значения от 0 до n, такое что при х = 0, 1, 2, ..., n и параметрах n = 1, 2, ... и 0 < p < 1, где Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Распределение Бернулли, распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целочисленные значения с вероятностями соответственно (биномиальный коэффициент; р параметр Б. р., наз. вероятностью положительного исхода, принимающей значения … Математическая энциклопедия

- (распределение Бернулли), распределение вероятностей числа появлений нек рого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна р (0<или = p < или = 1). Именно, число м появлений … Естествознание. Энциклопедический словарь

Биномиальное распределение вероятностей - (binomial distribution) Распределение, которое наблюдается в случаях, когда исход каждого независимого эксперимента (статистического наблюдения) принимает одно из двух возможных значений: победа или поражение, включение или исключение, плюс или … Экономико-математический словарь

биномиальное распределение вероятностей - Распределение, которое наблюдается в случаях, когда исход каждого независимого эксперимента (статистического наблюдения) принимает одно из двух возможных значений: победа или поражение, включение или исключение, плюс или минус, 0 или 1. То есть… … Справочник технического переводчика

Книги

Теория вероятностей и математическая статистика в задачах. Более 360 задач и упражнений , Д. А. Борзых. В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно с тем, чтобы побудить студентов к…
Теория вероятностей и математическая статистика в задачах: Более 360 задач и упражнений , Борзых Д.. В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно с тем, чтобы побудить студентов к…

Распределения вероятностей дискретных случайных величин. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Производящая функция.

6. Распределения вероятностей дискретных случайных величин

6.1. Биномиальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может либо появится, либо не появится. Вероятность p появления события A во всех испытаниях постоянна и не изменяется от испытания к испытанию. Рассмотрим в качестве случайной величины X число появлений события A в этих испытаниях. Формула, позволяющая найти вероятность появления события A ровно k раз в n испытаниях, как известно, описывается формулой Бернулли

Распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли, называется биномиальным .

Этот закон назван "биномиальным" потому, что правую часть можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона

Запишем биномиальный закон в виде таблицы


	p n	np n –1 q				q n

Найдем числовые характеристики этого распределения.

По определению математического ожидания для ДСВ имеем

Запишем равенство, являющееся бином Ньютона

и продифференцируем его по p. В результате получим

Умножим левую и правую часть на p :

Учитывая, что p + q =1, имеем

(6.2)

Итак, математическое ожидание числа появлений событий в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний n на вероятность p появления события в каждом испытании .

Дисперсию вычислим по формуле

Для этого найдем

Предварительно продифференцируем формулу бинома Ньютона два раза по p :

и умножим обе части равенства на p 2:

Следовательно,

Итак, дисперсия биномиального распределения равна

. (6.3)

Данные результаты можно получить и из чисто качественных рассуждений. Общее число X появлений события A во всех испытаниях складываются из числа появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому если X 1 – число появлений события в первом испытании, X 2 – во втором и т.д., то общее число появлений события A во всех испытаниях равно X=X 1 +X 2 +…+X n . По свойству математического ожидания:

Каждое из слагаемых правой части равенства есть математическое ожидание числа событий в одном испытании, которое равно вероятности события. Таким образом,

По свойству дисперсии:

Так как , а математическое ожидание случайной величины, которое может принимать только два значения, а именно 1 2 с вероятностью p и 0 2 с вероятностью q , то
. Таким образом,
В результате, получаем

Воспользовавшись понятием начальных и центральных моментов, можно получить формулы для асимметрии и эксцесса:

. (6.4)

Рис. 6.1

Многоугольник биномиального распределения имеет следующий вид (см. рис. 6.1). ВероятностьP n (k ) сначала возрастает при увеличении k , достигает наибольшего значения и далее начинает убывать. Биномиальное распределение асимметрично, за исключением случая p =0,5. Отметим, что при большом числе испытаний n биномиальное распределение весьма близко к нормальному. (Обоснование этого предложения связано с локальной теоремой Муавра-Лапласа.)

Число m 0 наступлений события называется наивероятнейшим , если вероятность наступления события данное число раз в этой серии испытаний наибольшая (максимум в многоугольнике распределения) . Для биномиального распределения

Замечание. Данное неравенство можно доказать, используя рекуррентную формулу для биномиальных вероятностей:

(6.6)

Пример 6.1. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 31%. Чему равно математического ожидание и дисперсия, также наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 75 изделий?

Решение. Поскольку p =0,31, q =0,69, n =75, то

M[X ] = np = 750,31 = 23,25; D[X ] = npq = 750,310,69 = 16,04.

Для нахождения наивероятнейшего числа m 0 , составим двойное неравенство

Отсюда следует, что m 0 = 23.

Биномиальное распределение - одно из важнейших распределений вероятностей дискретно изменяющейся случайной величины. Биномиальным распределением называется распределение вероятностей числа m наступления события А в n взаимно независимых наблюдениях . Часто событие А называют "успехом" наблюдения, а противоположное ему событие - "неуспехом", но это обозначение весьма условное.

Условия биномиального распределения :

в общей сложности проведено n испытаний, в которых событие А может наступить или не наступить;
событие А в каждом из испытаний может наступить с одной и той же вероятностью p ;
испытания являются взаимно независимыми.

Вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит именно m раз, можно вычислить по формуле Бернулли:

где p - вероятность наступления события А ;

q = 1 - p - вероятность наступления противоположного события .

Разберёмся, почему биномиальное распределение описанным выше образом связано с формулой Бернулли . Событие - число успехов при n испытаниях распадается на ряд вариантов, в каждом из которых успех достигается в m испытаниях, а неуспех - в n - m испытаниях. Рассмотрим один из таких вариантов - B 1 . По правилу сложения вероятностей умножаем вероятности противоположных событий:

а если обозначим q = 1 - p , то

Такую же вероятность будет иметь любой другой вариант, в котором m успехов и n - m неуспехов. Число таких вариантов равно - числу способов, которыми можно из n испытаний получить m успехов.

Сумма вероятностей всех m чисел наступления события А (чисел от 0 до n ) равна единице:

где каждое слагаемое представляет собой слагаемое бинома Ньютона. Поэтому рассматриваемое распределение и называется биномиальным распределением.

На практике часто необходимо вычислять вероятности "не более m успехов в n испытаниях" или "не менее m успехов в n испытаниях". Для этого используются следующие формулы.

Интегральную функцию, то есть вероятность F (m ) того, что в n наблюдениях событие А наступит не более m раз , можно вычислить по формуле:

В свою очередь вероятность F (≥m ) того, что в n наблюдениях событие А наступит не менее m раз , вычисляется по формуле:

Иногда бывает удобнее вычислять вероятность того, что в n наблюдениях событие А наступит не более m раз, через вероятность противоположного события:

Какой из формул пользоваться, зависит от того, в какой из них сумма содержит меньше слагаемых.

Характеристики биномиального распределения вычисляются по следующим формулам .

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

Среднеквадратичное отклонение: .

Биномиальное распределение и расчёты в MS Excel

Вероятность биномиального распределения P n (m ) и значения интегральной функции F (m ) можно вычислить при помощи функции MS Excel БИНОМ.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).

MS Excel требует ввести следующие данные:

число успехов;
число испытаний;
вероятность успеха;
интегральная - логическое значение: 0 - если нужно вычислить вероятность P n (m ) и 1 - если вероятность F (m ).

Пример 1. Менеджер фирмы обобщил информацию о числе проданных в течение последних 100 дней фотокамер. В таблице обобщена информация и рассчитаны вероятности того, что в день будет продано определённое число фотокамер.

День завершён с прибылью, если продано 13 или более фотокамер. Вероятность, что день будет отработан с прибылью:

Вероятность того, что день будет отработан без прибыли:

Пусть вероятность того, что день отработан с прибылью, является постоянной и равна 0,61, и число проданных в день фотокамер не зависит от дня. Тогда можно использовать биномиальное распределение, где событие А - день будет отработан с прибылью, - без прибыли.

Вероятность того, что из 6 дней все будут отработаны с прибылью:

Тот же результат получим, используя функцию MS Excel БИНОМ.РАСП (значение интегральной величины - 0):

P 6 (6 ) = БИНОМ.РАСП(6; 6; 0,61; 0) = 0,052.

Вероятность того, что из 6 дней 4 и больше дней будут отработаны с прибылью:

где ,

Используя функцию MS Excel БИНОМ.РАСП, вычислим вероятность того, что из 6 дней не более 3 дней будут завершены с прибылью (значение интегральной величины - 1):

P 6 (≤3 ) = БИНОМ.РАСП(3; 6; 0,61; 1) = 0,435.

Вероятность того, что из 6 дней все будут отработаны с убытками:

Тот же показатель вычислим, используя функцию MS Excel БИНОМ.РАСП:

P 6 (0 ) = БИНОМ.РАСП(0; 6; 0,61; 0) = 0,0035.

Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. В урне 2 белых шара и 3 чёрных. Из урны вынимают шар, устанавливают цвет и кладут обратно. Попытку повторяют 5 раз. Число появления белых шаров - дискретная случайная величина X , распределённая по биномиальному закону. Составить закон распределения случайной величины. Определить моду, математическое ожидание и дисперсию.

Продолжаем решать задачи вместе

Пример 3. Из курьерской службы отправились на объекты n = 5 курьеров. Каждый курьер с вероятностью p = 0,3 независимо от других опаздывает на объект. Дискретная случайная величина X - число опоздавших курьеров. Построить ряд распределения это случайной величины. Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность того, что на объекты опоздают не менее двух курьеров.

В настоящей и нескольких следующих заметках мы рассмотрим математические модели случайных событий. Математическая модель - это математическое выражение, представляющее случайную величину. Для дискретных случайных величин это математическое выражение известно под названием функция распределения.

Если задача позволяет явно записать математическое выражение, представляющее случайную величину, можно вычислить точную вероятность любого ее значения. В этом случае можно вычислить и перечислить все значения функции распределения. В деловых, социологических и медицинских приложениях встречаются разнообразные распределения случайных величин. Одним из наиболее полезных распределений является биномиальное.

Биномиальное распределение используется для моделирования ситуаций, характеризующихся следующими особенностями.

Выборка состоит из фиксированного числа элементов n , представляющих собой исходы некоего испытания.
Каждый элемент выборки принадлежит одной из двух взаимоисключающих категорий, исчерпывающих все выборочное пространство. Как правило, эти две категории называют успех и неудача.
Вероятность успеха р является постоянной. Следовательно, вероятность неудачи равна 1 – р .
Исход (т.е. удача или неудача) любого испытания не зависит от результата другого испытания. Чтобы гарантировать независимость исходов, элементы выборки, как правило, получают с помощью двух разных методов. Каждый элемент выборки случайным образом извлекается из бесконечной генеральной совокупности без возвращения или из конечной генеральной совокупности с возвращением.

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Биномиальное распределение используется для оценки количества успехов в выборке, состоящей из n наблюдений. Рассмотрим в качестве примера оформление заказов. Чтобы сделать заказ клиенты компании Saxon Company могут воспользоваться интерактивной электронной формой и послать ее в компанию. Затем информационная система проверяет, нет ли в заказах ошибок, а также неполной или недостоверной информации. Любой заказ, вызывающий сомнения, помечается и включается в ежедневный отчет об исключительных ситуациях. Данные, собранные компанией, свидетельствуют, что вероятность ошибок в заказах равна 0,1. Компания хотела бы знать, какова вероятность обнаружить определенное количество ошибочных заказов в заданной выборке. Например, предположим, что клиенты заполнили четыре электронных формы. Какова вероятность, что все заказы окажутся безошибочными? Как вычислить эту вероятность? Под успехом будем понимать ошибку при заполнении формы, а все остальные исходы будем считать неудачей. Напомним, что нас интересует количество ошибочных заказов в заданной выборке.

Какие исходы мы можем наблюдать? Если выборка состоит из четырех заказов, ошибочными могут оказаться один, два, три или все четыре, кроме того, все они могут оказаться правильно заполненными. Может ли случайная величина, описывающая количество неправильно заполненных форм, принимать какое-либо иное значение? Это невозможно, поскольку количество неправильно заполненных форм не может превышать объем выборки n или быть отрицательным. Таким образом, случайная величина, подчиняющаяся биномиальному закону распределения, принимает значения от 0 до n .

Допустим, что в выборке из четырех заказов наблюдаются следующие исходы:

Какова вероятность обнаружить три ошибочных заказа в выборке, состоящей из четырех заказов, причем в указанной последовательности? Поскольку предварительные исследования показали, что вероятность ошибки при заполнении формы равна 0,10, вероятности указанных выше исходов вычисляются следующим образом:

Поскольку исходы не зависят друг от друга, вероятность указанной последовательности исходов равна: р*р*(1–р)*р = 0,1*0,1*0,9*0,1 = 0,0009. Если же необходимо вычислить количество вариантов выбора X n элементов, следует воспользоваться формулой сочетаний (1):

где n! = n * (n –1) * (n – 2) * … * 2 * 1 - факториал числа n , причем 0! = 1 и 1! = 1 по определению.

Это выражение часто обозначают как . Таким образом, если n = 4 и X = 3, количество последовательностей, состоящих из трех элементов, извлеченных из выборки, объем которой равен 4, определяется по следующей формуле:

Следовательно, вероятность обнаружить три ошибочных заказа вычисляется следующим образом:

(Количество возможных последовательностей) *
(вероятность конкретной последовательности) = 4 * 0,0009 = 0,0036

Аналогично можно вычислить вероятность того, что среди четырех заказов окажутся один или два ошибочных, а также вероятность того, что все заказы ошибочны или все верны. Однако при увеличении объема выборки n определить вероятность конкретной последовательности исходов становится труднее. В этом случае следует применить соответствующую математическую модель, описывающую биномиальное распределение количества вариантов выбора X объектов из выборки, содержащей n элементов.

Биноминальное распределение

где Р(Х) - вероятность X успехов при заданных объеме выборки n и вероятности успеха р , X = 0, 1, … n .

Обратите внимание на то, что формула (2) представляет собой формализацию интуитивных выводов. Случайная величина X , подчиняющаяся биномиальному распределению, может принимать любое целое значение в диапазоне от 0 до n . Произведение р X (1 – р) n – X представляет собой вероятность конкретной последовательности, состоящей из X успехов в выборке, объем которой равен n . Величина определяет количество возможных комбинаций, состоящих из X успехов в n испытаниях. Следовательно, при заданном количестве испытаний n и вероятности успеха р вероятность последовательности, состоящей из X успехов, равна

Р(Х) = (количество возможных последовательностей) * (вероятность конкретной последовательности) =

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение формулы (2).

1. Допустим, что вероятность неверно заполнить форму равна 0,1. Какова вероятность того, что среди четырех заполненных форм три окажутся ошибочными? Используя формулу (2), получаем, что вероятность обнаружить три ошибочных заказа в выборке, состоящей из четырех заказов, равна

2. Допустим, что вероятность неверно заполнить форму равна 0,1. Какова вероятность того, что среди четырех заполненных форм не менее трех окажутся ошибочными? Как показано в предыдущем примере, вероятность того, что среди четырех заполненных форм три окажутся ошибочными, равна 0,0036. Чтобы вычислить вероятность того, что среди четырех заполненных форм не менее трех будут неправильно заполнены, необходимо сложить вероятность того, что среди четырех заполненных форм три окажутся ошибочными, и вероятность того, что среди четырех заполненных форм все окажутся ошибочными. Вероятность второго события равна

Таким образом, вероятность того, что среди четырех заполненных форм не менее трех окажутся ошибочными, равна

Р(Х > 3) = Р(Х = 3) + Р(Х = 4) = 0,0036 + 0,0001 = 0,0037

3. Допустим, что вероятность неверно заполнить форму равна 0,1. Какова вероятность того, что среди четырех заполненных форм менее трех окажутся ошибочными? Вероятность этого события

Р(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Используя формулу (2), вычислим каждую из этих вероятностей:

Следовательно, Р(Х < 3) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963.

Вероятность Р(Х < 3) можно вычислить иначе. Для этого воспользуемся тем, что событие X < 3 является дополнительным по отношению к событию Х> 3. Тогда Р(Х< 3) = 1 – Р(Х> 3) = 1 – 0,0037 = 0,9963.

По мере увеличения объема выборки n вычисления, аналогичные проведенным в примере 3, становятся затруднительными. Чтобы избегать этих сложностей, многие биномиальные вероятности табулируют заранее. Некоторые из этих вероятностей приведены рис. 1. Например, чтобы получить вероятность, что Х = 2 при n = 4 и p = 0,1, следует извлечь из таблицы число, стоящее на пересечении строки Х = 2 и столбца р = 0,1.

Рис. 1. Биномиальная вероятность при n = 4, Х = 2 и р = 0,1

Биномиальное распределение можно вычислить с помощью функции Excel =БИНОМ.РАСП() (рис. 2), имеющей 4 параметра: число успехов – Х , число испытаний (или объем выборки) – n , вероятность успеха – р , параметр интегральная , принимающий значения ИСТИНА (в этом случае вычисляется вероятность не менее Х событий) или ЛОЖЬ (в этом случае вычисляется вероятность точно Х событий).

Рис. 2. Параметры функции =БИНОМ.РАСП()

Для вышеприведенных трех примеров расчеты приведены на рис. 3 (см. также Excel-файл). В каждом столбце приведено по одной формуле. Цифрами показаны ответы на примеры соответствующего номера).

Рис. 3. Расчет биноминального распределения в Excel для n = 4 и p = 0,1

Свойства биномиального распределения

Биномиальное распределение зависит от параметров n и р . Биномиальное распределение может быть, как симметричным, так и асимметричным. Если р = 0,05, биномиальное распределение является симметричным независимо от величины параметра n . Однако, если р ≠ 0,05, распределение становится асимметричным. Чем ближе значение параметра р к 0,05 и чем больше объем выборки n , тем слабее выражена асимметрия распределения. Таким образом, распределение количества неправильно заполненных форм смещено вправо, поскольку p = 0,1 (рис. 4).

Рис. 4. Гистограмма биномиального распределения при n = 4 и p = 0,1

Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению объема выборки n на вероятность успеха р :

(3) Μ = Е(Х) = np

В среднем, при достаточно долгой серии испытаний в выборке, состоящей из четырех заказов, может оказаться р = Е(Х) = 4 х 0,1 = 0,4 неправильно заполненных форм.

Стандартное отклонение биномиального распределения

Например, стандартное отклонение количества неверно заполненных форм в бухгалтерской информационной системе равно:

Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 307–313