Геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади. Геометрические приложения определенного интеграла

⁰

Определенный интеграл (ОИ) широко используется в практических приложениях математики и физики.

В частности, в геометрии с помощью ОИ находят площади простых фигур и сложных поверхностей, объемов тел вращения и тел произвольной формы, длин кривых на плоскости и в пространстве.

В физике и теоретической механике ОИ применяют для вычисления статических моментов, масс и центров масс материальных кривых и поверхностей, для вычисления работы переменной силы по криволинейному пути и др.

Площадь плоской фигуры

Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ сверху ограничена кривой $y=y_{1} \left(x\right)$, снизу -- кривой $y=y_{2} \left(x\right)$, а слева и справа вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$ соответственно. В общем случае площадь такой фигуры выражается с помощью ОИ $S=\int \limits _{a}^{b}\left(y_{1} \left(x\right)-y_{2} \left(x\right)\right)\cdot dx $.

Если же некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ справа ограничена кривой $x=x_{1} \left(y\right)$, слева -- кривой $x=x_{2} \left(y\right)$, а снизу и сверху горизонтальными прямыми $y=c$ и $y=d$ соответственно, то площадь такой фигуры выражается с помощью ОИ $S=\int \limits _{c}^{d}\left(x_{1} \left(y\right)-x_{2} \left(y\right)\right)\cdot dy $.

Пусть плоская фигура (криволинейный сектор), рассматриваемая в полярной системе координат, образована графиком непрерывной функции $\rho =\rho \left(\phi \right)$, а также двумя лучами, проходящими под углами $\phi =\alpha $ и $\phi =\beta $ соответственно. Формула для вычисления площади такого криволинейного сектора имеет вид: $S=\frac{1}{2} \cdot \int \limits _{\alpha }^{\beta }\rho ^{2} \left(\phi \right)\cdot d\phi $.

Длина дуги кривой

Если на отрезке $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ кривая задана уравнением $\rho =\rho \left(\phi \right)$ в полярной системе координат, то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ $L=\int \limits _{\alpha }^{\beta }\sqrt{\rho ^{2} \left(\phi \right)+\rho "^{2} \left(\phi \right)} \cdot d\phi $.

Если на отрезке $\left$ кривая задана уравнением $y=y\left(x\right)$, то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ $L=\int \limits _{a}^{b}\sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx $.

Если на отрезке $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ кривая задана параметрически, то есть $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$, то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ $L=\int \limits _{\alpha }^{\beta }\sqrt{x"^{2} \left(t\right)+y"^{2} \left(t\right)} \cdot dt $.

Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений

Пусть необходимо найти объем пространственного тела, координаты точек которого удовлетворяют условиям $a\le x\le b$, и для которого известны площади сечений $S\left(x\right)$ плоскостями, перпендикулярными оси $Ox$.

Формула для вычисления объема такого тела имеет вид $V=\int \limits _{a}^{b}S\left(x\right)\cdot dx $.

Объем тела вращения

Пусть на отрезке $\left$ задана неотрицательная непрерывная функция $y=y\left(x\right)$, образующая криволинейную трапецию (КрТ). Если вращать эту КрТ вокруг оси $Ox$, то образуется тело, называемое телом вращения.

Вычисление объема тела вращения является частным случаем вычисления объема тела по известным площадям его параллельных сечений. Соответствующая формула имеет вид $V=\int \limits _{a}^{b}S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _{a}^{b}y^{2} \left(x\right)\cdot dx $.

Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ сверху ограничена кривой $y=y_{1} \left(x\right)$, снизу -- кривой $y=y_{2} \left(x\right)$, где $y_{1} \left(x\right)$ и $y_{2} \left(x\right)$ -- неотрицательные непрерывные функции, а слева и справа вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$ соответственно. Тогда объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси $Ox$, выражается ОИ $V=\pi \cdot \int \limits _{a}^{b}\left(y_{1}^{2} \left(x\right)-y_{2}^{2} \left(x\right)\right)\cdot dx $.

Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ справа ограничена кривой $x=x_{1} \left(y\right)$, слева -- кривой $x=x_{2} \left(y\right)$, где $x_{1} \left(y\right)$ и $x_{2} \left(y\right)$ -- неотрицательные непрерывные функции, а снизу и сверху горизонтальными прямыми $y=c$ и $y=d$ соответственно. Тогда объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси $Oy$, выражается ОИ $V=\pi \cdot \int \limits _{c}^{d}\left(x_{1}^{2} \left(y\right)-x_{2}^{2} \left(y\right)\right)\cdot dy $.

Площадь поверхности тела вращения

Пусть на отрезке $\left$ задана неотрицательная функция $y=y\left(x\right)$ с непрерывной производной $y"\left(x\right)$. Эта функция образует КрТ. Если вращать эту КрТ вокруг оси $Ox$, то она сама образует тело вращения, а дуга КрТ -- его поверхность. Площадь поверхности такого тела вращения выражается формулой $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _{a}^{b}y\left(x\right)\cdot \sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx $.

Предположим, что кривую $x=\phi \left(y\right)$, где $\phi \left(y\right)$ -- заданная на отрезке $c\le y\le d$ неотрицательна функция, вращают вокруг оси $Oy$. В этом случае площадь поверхности образованного тела вращения выражается ОИ $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _{c}^{d}\phi \left(y\right)\cdot \sqrt{1+\phi "^{2} \left(y\right)} \cdot dy $.

Физические приложения ОИ

Для вычисления пройденного пути в момент времени $t=T$ при переменной скорости движения $v=v\left(t\right)$ материальной точки, которая начала движение в момент времени $t=t_{0} $, используют ОИ $S=\int \limits _{t_{0} }^{T}v\left(t\right)\cdot dt $.
Для вычисления работы переменной сили $F=F\left(x\right)$, приложенной к материальной точке, перемещающейся по прямолинейному пути вдоль оси $Ox$ от точки $x=a$ до точки $x=b$ (направление действия силы совпадает с направлением движения) используют ОИ $A=\int \limits _{a}^{b}F\left(x\right)\cdot dx $.
Статические моменты относительно координатных осей материальной кривой $y=y\left(x\right)$ на промежутке $\left$ выражаются формулами $M_{x} =\rho \cdot \int \limits _{a}^{b}y\left(x\right)\cdot \sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx $ и $M_{y} =\rho \cdot \int \limits _{a}^{b}x\cdot \sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx $, где линейная плотность $\rho $ этой кривой считается постоянной.
Центр масс материальной кривой -- это точка, в которой условно сосредоточена вся её масса таким образом, что статические моменты точки относительно координатных осей равны соответствующим статическим моментам всей кривой в целом.

Формулы для вычисления координат центра масс плоской кривой имеют вид $x_{C} =\frac{\int \limits _{a}^{b}x\cdot \sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx }{\int \limits _{a}^{b}\sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx } $ и $y_{C} =\frac{\int \limits _{a}^{b}y\left(x\right)\cdot \sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx }{\int \limits _{a}^{b}\sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx } $.

Статические моменты материальной плоской фигуры в виде КрТ относительно координатных осей выражаются формулами $M_{x} =\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot \int \limits _{a}^{b}y^{2} \left(x\right)\cdot dx $ и $M_{y} =\rho \cdot \int \limits _{a}^{b}x\cdot y\left(x\right)\cdot dx $.
Координаты центра масс материальной плоской фигуры в виде КрТ, образованной кривой $y=y\left(x\right)$ на промежутке $\left$, вычисляют по формулам $x_{C} =\frac{\int \limits _{a}^{b}x\cdot y\left(x\right)\cdot dx }{\int \limits _{a}^{b}y\left(x\right)\cdot dx } $ и $y_{C} =\frac{\frac{1}{2} \cdot \int \limits _{a}^{b}y^{2} \left(x\right)\cdot dx }{\int \limits _{a}^{b}y\left(x\right)\cdot dx } $.

Лекция 21 Приложения определенного интеграла (2ч)

Геометрические приложения

а) Площадь фигуры

Как уже отмечалось в лекции 19, численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f (x ) , прямыми х = а , х = b и отрезком [a , b ] оси ОХ. При этом если f (x ) £ 0 на [a , b ], то интеграл следует взять со знаком минус.

Если же на заданном отрезке функция у = f (x ) меняет знак, то для вычисления площади фигуры, заключенной между графиком этой функции и осью ОХ, следует разбить отрезок на части, на каждой из которых функция сохраняет знак, и найти площадь каждой части фигуры. Искомая площадь в этом случае есть алгебраическая сумма интегралов по этим отрезкам, причем интегралы, соответствующие отрицательным значения функции, взяты в этой сумме со знаком «минус».

Если фигура ограничена двумя кривыми у = f 1 (x ) и у = f 2 (x ), f 1 (x )£f 2 (x ), то, как следует из рис.9, ее площадь равна разности площадей криволинейных трапеций а ВСb и а АDb , каждая из которых численно равна интегралу. Значит,

Заметим, что площадь фигуры, изображенной на рисунке 10,а находятся по такой же формуле: S = (докажите это!). Подумайте, как вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 10,б?

Мы вели речь только о криволинейных трапециях, прилежащих к оси ОХ. Но аналогичные формулы справедливы и для фигур, прилежащих к оси ОУ. Например, площадь фигуры, изображенной на рисунке 11, находится по формуле

Пусть линия y = f (x ), ограничивающая криволинейную трапецию, может быть задана параметрическими уравнениями , t Î , причем j(a)=а , j(b) = b , т.е. у = . Тогда площадьэтой криволинейной трапеции равна

б) Длина дуги кривой

Пусть дана кривая у = f (x ). Рассмотрим дугу этой кривой, соответствующую изменению х на отрезке [a , b ]. Найдем длину этой дуги. Для этого разобьем дугу АВ на п частей точками А = М 0 ,М 1 , М 2, ..., М п = В (рис.14), соответствующими точкам х 1 , х 2 , ..., х п Î [a , b ].

Обозначим Dl i длину дуги , тогда l = . Если длины дуг Dl i достаточно малы, то их можно считать приближенно равными длинам соответствующих отрезков , соединяющих точки М i -1, Mi . Эти точки имеют координаты М i -1 (х i -1, f (x i -1)) , M i (х i , f (x i )). Тогда длины отрезков равны соответственно

Здесь использована формула Лагранжа. Положим х i – x i -1 =Dх i , получим

Тогда l = , откуда

l = .

Таким образом, длина дуги кривой у = f (x ), соответствующей изменению х на отрезке [a , b ], находится по формуле

l = , (1)

Если кривая задана параметрически , t Î, т.е. y (t ) = f (x (t )), то из формулы (1) получим:

l =
.

Значит, если кривая задана параметрически , то длина дуги этой кривой, соответствующей изменению t Î, находится по формуле

в) Объем тела вращения.

Рис.15

Рассмотрим криволинейную трапецию а АВb , ограниченную линией у = f (x ), прямыми х = а , х = b и отрезком [a , b ] оси ОХ (рис.15). Пусть эта трапеция вращается вокруг оси ОХ, в результате получится тело вращения. Можно доказать, что объем этого тела будет равен

Аналогично можно вывести формулу объема тела, полученного вращением вокруг оси ОУ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции х = j(у ), прямыми y = c , y = d и отрезком [c , d ] оси ОУ (рис.15):

Физические приложения определенного интеграла

В лекции 19 мы доказали, что с физической точки зрения, интеграл численно равен массе прямолинейного тонкого неоднородного стержня длины l = b – a , с переменной линейной плотностью r = f (x ), f (x ) ³ 0, где х – расстояние от точки стержня до его левого конца.

Рассмотрим другие физические приложения определенного интеграла.

Задача 1 . Найти работу, необходимую для выкачивания масла из вертикального цилиндрического резервуара высотой Н и радиусом основания R. Плотность масла равна r.

Решение. Построим математическую модель данной задачи. Пусть ось ОХ проходит вдоль оси симметрии цилиндра высоты Н и радиуса R, начало – в центре верхнего основания цилиндра (рис.17). Разобьем цилиндр на п малых горизонтальных частей. Тогда , где A i – работа по выкачиванию i -го слоя. Это разбиение цилиндра соответствует разбиению отрезка изменения высоты слоя на п частей. Рассмотрим один из таких слоев, расположенный на расстоянии х i от поверхности, шириной Dх (или сразу dx ). Выкачивание этого слоя можно рассматривать как «поднятие» слоя на высоту х i .

Тогда работа по выкачиванию этого слоя равна

A i »Р i x i , ,

где Р i =rgV i = rgpR 2 dx , Р i – вес, V i – объем слоя. Тогда A i » Р i x i = rgpR 2 dx.х i , откуда

, и, следовательно, .

Задача 2 . Найти момент инерции

а) полого тонкостенного цилиндра относительно оси, проходящей через ось его симметрии;

б) сплошного цилиндра относительно оси, проходящей через ось его симметрии;

в) тонкого стержня длины l относительно оси, проходящей через его середину;

г) тонкого стержня длины l относительно оси, проходящей через его левый конец.

Решение. Как известно, момент инерции точки относительно оси равен J =mr 2 , а системы точек .

а) Цилиндр тонкостенный, значит, толщиной стенок можно пренебречь. Пусть радиус основания цилиндра R, высота его Н, плотность масс на стенках равна r.

Разобьем цилиндр на п частей и найдем , где J i – момент инерции i -го элемента разбиения.

Рассмотрим i -й элемент разбиения (бесконечно малый цилиндрик). Все его точки находятся на расстоянии R от оси l . Пусть масса этого цилиндрика т i , тогда т i = rV i » rS бок = 2prRdx i , где х i Î. Тогда J i » R 2 prRdx i , откуда

Если r – постоянная, то J = 2prR 3 Н, а так как при этом масса цилиндра равна М = 2prRН, то J = МR 2 .

б) Если цилиндр сплошной (заполненный), то разобьем его на п вло женных один в другого тонких цилиндров. Если п велико, каждый из этих цилиндров можно считать тонкостенным. Это разбиение соответствует разбиению отрезка на п частей точками R i . Найдем массу i -го тонкостенного цилиндра: т i = rV i , где

V i = pR i 2 Н – pR i - 1 2 Н = pН(R i 2 –R i -1 2) =

PН(R i –R i -1)(R i +R i -1).

Ввиду того, что стенки цилиндра тонкие, то можно считать, что R i +R i -1 » 2R i , а R i –R i -1 = DR i , тогда V i » pН2R i DR i , откуда т i » rpН×2R i DR i ,

Тогда окончательно

в) Рассмотрим стержень длины l , плотность масс которого равна r. Пусть ось вращения проходит через его середину.

Моделируем стержень как отрезок оси ОХ, тогда ось вращения стержня –ось ОУ. Рассмотрим элементарный отрезок , масса его , расстояние до оси можно считать приближенно равным r i = х i . Тогда момент инерции этого участка равен , откуда момент инерции всего стержня равен . Учитывая, что масса стержня равна , то

г) Пусть теперь ось вращения проходит через левый конец стержня, т.е. моделью стержня является отрезок оси ОХ. Тогда аналогично , r i = х i , , откуда , а так как , то .

Задача 3. Найти силу давления жидкости с плотностью r на прямоугольный треугольник с катетами а и b , погруженный вертикально в жидкость так, что катет а находится на поверхности жидкости.

Решение .

Построим модель задачи. Пусть вершина прямого угла треугольника находится в начале координат, катет а совпадает с отрезком оси ОУ (ось ОУ определяет поверхность жидкости), ось ОХ направлена вниз, катет b совпадает с отрезком этой оси. Гипотенуза этого треугольника имеет уравнение , или .

Известно, что если на горизонтальную область площади S , погруженную в жидкость плотности r, давит столб жидкости высотой h , то сила давления равна (закон Паскаля). Воспользуемся этим законом.

Министерство образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова»

Кафедра математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине Математика

Пятышева Анастасия Андреевна

Руководитель

ст. преподаватель

Бородкина Т. А.

Архангельск 2014

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Приложения определенного интеграла

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ:

21. y=x 3 , y= ; 22.

ВВЕДЕНИЕ

В данной курсовой работе, передо мной поставлены следующие задачи: вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций, ограниченных линиями, заданными уравнениями, также ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах, вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат, заданных параметрическими уравнениями, заданных уравнениями в полярных координатах, а также вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями, ограниченных графиками функций, и образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций вокруг полярной оси. Мною была выбрана курсовая работа по теме «Определенный интеграл. В связи с этим, я решила узнать, как легко и быстро можно использовать интегральные вычисления, и насколько точно можно вычислить поставленные передо мной задачи.

ИНТЕГРАЛ одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Раскрытие темы курсовой работы я провела по следующему плану: определение определенного интеграла и его свойства; длина дуги кривой; площадь криволинейной трапеции; площадь поверхности вращения.

Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке , существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Если функция F(x) - какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то это выражение известно под названием формулы Ньютона-Лейбница:

Основные свойства определенного интеграла:

Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:

Если f(x)=1, то:

При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

Если функции интегрируемы на, тогда интегрируема на их сумма и интеграл от суммы равен сумме интегралов:

Существуют также основные методы интегрирования, например замена переменной,:

Исправление дифференциала:

Формула интегрирования по частям дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла, который может оказаться более простым:

Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что для непрерывной и неотрицательной функции представляет собой в геометрическом смысле площадь соответствующей криволинейной трапеции.

Кроме того, с помощью определенного интеграла можно найти площадь области, ограниченной кривыми, прямыми и, где

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически прямыми x = a и x = b и осью Ox, то площадь ее находится по формуле, где определяются из равенства:

. (12)

Основная область, площадь которой находят с помощью определенного интеграла- криволинейный сектор. Это область, ограниченная двумя лучами и кривой, где r и - полярные координаты:

Если кривая является графиком функции где, а функция ее производная непрерывны на этом отрезке, то площадь поверхности фигуры, образованной вращением кривой вокруг оси Ox, можно вычислить по формуле:

. (14)

Если функция и ее производная непрерывны на отрезке то кривая имеет длину, равную:

Если уравнение кривой задано в параметрической форме

где x(t) и y(t) - непрерывные функции с непрерывными производными и то длина кривой находится по формуле:

Если кривая задана уравнением в полярных координатах, где и непрерывны на отрезке, тогда длину дуги можно посчитать следующим образом:

Если вокруг оси Ox вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией отрезком и прямыми x = a и x = b, то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Ox, будет равен:

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми x = 0, y = c, y = d (c < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

Если фигура ограничена кривыми и (находится «выше», чем и прямыми x = a, x = b, то объем тела вращения вокруг оси Ox будет равен:

а вокруг оси Oy (:

Если криволинейный сектор вращать вокруг полярной оси, то площадь полученного тела можно найти по формуле:

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Задача 14: Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций:

1) Решение:

Рисунок 1 - График функций

X меняется от 0 до

x 1 = -1 и x 2 = 2 - пределы интегрирования (это видно на Рисунке 1).

3) Посчитаем площадь фигуры, использую формулу (10).

Ответ: S = .

Задача 15: Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями:

1) Решение:

Рисунок 2 - График функций

Рассмотрим функцию на интервале .

Рисунок 3 - Таблица переменных для функции

Так как, то на этом периоде поместиться 1 дуга. Эта дуга состоит из центральной части (S 1) и боковых частей. Центральная чаcть состоит из искомой части и из прямоугольника (S пр):. Посчитаем площадь одной центральной части дуги.

2) Найдем пределы интегрирования.

и y = 6, следовательно

Для интервала - пределы интегрирования.

3) Найдем площадь фигуры, используя формулу (12).

интеграл криволинейный трапеция

Задача 16: Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:

1) Решение:

Рисунок 4 - График функций,

Рисунок 5 - Таблица переменных функций,

2) Найдем пределы интегрирования.

следовательно -

3) Найдем площадь фигуры, используя формулу (13).

Ответ: S =.

Задание 17: Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат:

1) Решение:

Рисунок 6- График функции

Рисунок 7 -Таблица переменных функции

2) Найдем пределы интегрирования.

меняется от ln до ln, это очевидно из условия.

3) Найдем длину дуги, используя формулу (15).

Ответ: l =

Задание 18: Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями: 1)

1) Решение:

Рисунок 8- График функции

Рисунок 11- Таблица переменных функции

2) Найдем пределы интегрирования.

ц меняется от, это очевидно из условия.

Найдем длину дуги, используя формулу (17).

Задание 20: Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:

1) Решение:

Рисунок 12 - График функций:

2) Найдем пределы интегрирования.

Z меняется от 0 до 3.

3) Найдем объем фигуры, используя формулу (18)

Задание 21: Вычислить объемы тел, ограниченных графиками функций, ось вращения Ох: 1)

1) Решение:

Рисунок 13 - График функций

Рисунок 15- Таблица графика функции

2) Найдем пределы интегрирования.

Точки (0;0) и (1;1) являются общими для обоих графиков, следовательно это и есть пределы интегрирования, что очевидно на рисунке.

3) Найдем объем фигуры, используя формулу (20).

Задание 22: Вычислить площадь тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций, вокруг полярной оси:

1) Решение:

Рисунок 16 - График функции

Рисунок 17- Таблица переменных для графика функции

2) Найдем пределы интегрирования.

ц меняется от

3) Найдем площадь фигуры, используя формулу (22).

Ответ: 3,68

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе выполнения курсовой работы на тему «Определенный интеграл», я научилась вычислять площади разных тел, находить длины различных дуг кривых, а также вычислять объемы. Данное представление о работе с интегралами, поможет мне в будущей профессиональной деятельности, как быстро и оперативно выполнять различные действия. Ведь сам интеграл - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Ч.1 - 9-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2008. - 288 с.

2. Бугров, Я.С., Никольский, С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление: Т.2 - М.: Дрофа, 2004. - 512 с.

3. Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. -- Изд. 4-е -- М.: МЦНМО, 2002. --664 с.

4. Кузнецов Д.А. «Сборник задач по высшей математики» Москва, 1983 г.

5. Никольский С. Н. «Элементы математического анализа». - М.: Наука, 1981г.

Подобные документы

Вычисление площадей плоских фигур. Нахождение определенного интеграла функции. Определение площади под кривой, площади фигуры, заключенной между кривыми. Вычисление объемов тел вращения. Предел интегральной суммы функции. Определение объема цилиндра.

презентация , добавлен 18.09.2013

Особенности вычисления объемов тел, ограниченных поверхностями, с применением геометрического смысла двойного интеграла. Определение площадей плоских фигур, ограниченных линиями, с использованием метода интегрирования в курсе математического анализа.

презентация , добавлен 17.09.2013

Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы по формуле Ньютона–Лейбница, замена переменной и интегрирование по частям. Длина дуги в полярной системе координат.

контрольная работа , добавлен 22.08.2009

Моменты и центры масс плоских кривых. Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности.

лекция , добавлен 04.09.2003

Методика и основные этапы нахождения параметров: площади криволинейной трапеции и сектора, длины дуги кривой, объема тел, площади поверхности тел вращения, работы переменной силы. Порядок и механизм вычисления интегралов с помощью пакета MathCAD.

контрольная работа , добавлен 21.11.2010

Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Равенство определенного интеграла от алгебраической суммы (разности) двух функций. Теорема о среднем – следствие и доказательство. Геометрический смысл определенного интеграла.

презентация , добавлен 18.09.2013

Задача численного интегрирования функций. Вычисление приближенного значения определенного интеграла. Нахождение определенного интеграла методами прямоугольников, средних прямоугольников, трапеций. Погрешность формул и сравнение методов по точности.

методичка , добавлен 01.07.2009

Способы вычисления интегралов. Формулы и проверка неопределенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Неопределенный, определенный и сложный интеграл. Основные применения интегралов. Геометрический смысл определенного и неопределенного интегралов.

презентация , добавлен 15.01.2014

Вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями, с помощью двойного интеграла. Расчет двойного интеграла, перейдя к полярным координатам. Методика определения криволинейного интеграла второго рода вдоль заданной линии и потока векторного поля.

контрольная работа , добавлен 14.12.2012

Понятие определённого интеграла, расчет площади, объёма тела и длины дуги, статического момента и центра тяжести кривой. Вычисление площади в случае прямоугольной криволинейной области. Применение криволинейного, поверхностного и тройного интегралов.

Главная > Лекция

Лекция 18. Приложения определенного интеграла.

18.1. Вычисление площадей плоских фигур.

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула .

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x 2 , x = 2.

Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

18.2. Нахождение площади криволинейного сектора.

Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид  = f(), где  - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а  - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси.

Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле

18.3. Вычисление длины дуги кривой.

y y = f(x)

S i y i

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как
.

Тогда длина дуги равна
.

Из геометрических соображений:

В то же время

Тогда можно показать, что

Т.е.

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной, получаем

где х = (t) и у = (t).

Если задана пространственная кривая , и х = (t), у = (t) и z = Z(t), то

Если кривая задана в полярных координатах , то

,  = f().

Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x 2 + y 2 = r 2 .

1 способ. Выразим из уравнения переменную у.

Найдем производную

Тогда S = 2r. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2 , т.е. функция  = f() = r,
тогда

18.4. Вычисление объемов тел.

Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.

Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки х i разбиения отрезка . Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно M i и m i .

Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны M i x i и m i x i здесь x i = x i - x i -1 .

Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно
и
.

При стремлении к нулю шага разбиения , эти суммы имеют общий предел:

Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:

Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел.

Пример: Найти объем шара радиуса R.

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле
.

Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) = .

Получаем объем шара:

Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.

При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х – расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.

Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.

Отсюда получаем функцию площадей сечений:

Находим объем пирамиды:

18.5. Объем тел вращения.

Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке . Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения .

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

18.6. Площадь поверхности тела вращения.

М i B

Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.

Разобьем дугу АВ на n частей точками M 0 , M 1 , M 2 , … , M n . Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты x i и y i . При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна P i . Эта площадь может быть найдена по формуле:

Здесь S i – длина каждой хорды.

Применяем теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа ) к отношению
.