Метод гармонической линеаризации.

Зависимости

Обработка результатов косвенных измерений при нелинейной

Представление результатов измерений

Ввиду того, что каждый аргумент может иметь соответствующие доверительные границы неисключенной систематической и случайной погрешностей, то задача определения погрешности косвенного измерения в этих случаях делится на три этапа:

а) суммирование частных неисключенных систематических погрешностей аргументов;

б) суммирование частных случайных погрешностей аргументов;

в) сложение систематической и случайной составляющих погрешности.

Доверительная граница неисключенной систематической погрешности косвенного измерения при условии одинаковой доверительной вероятности частных погрешностей и их равномерного распределения внутри заданных границ определяется по формуле (без учета знака):

где θ y – доверительная граница неисключенной систематическо погрешности среднего значения X j -го аргумента. При отсутствии корреляционной связи между аргументами оценка СКО случайной погрешности косвенного измерения вычисляется по

где S x j – оценка СКО случайной погрешности результата измерения X j -го аргумента.

При нормальном распределении погрешностей косвенного измерения доверительная граница случайной составляющей погрешности вычисляется по формуле:

где t p – квантиль Стьюдента при доверительной вероятности P с эффективным числом степеней свободы k эф , определяемом при малых объемах выборки по формуле:

При больших объемах число степеней свободы находится по формуле

Доверительная граница суммарной погрешности результата косвенного

измерения определяется по правилам, изложенным выше.

Существуют два метода определения точечной оценки результата косвенного измерения и её погрешности: линеаризации и приведения.

Для косвенных измерений при нелинейных зависимостях и некоррелированных погрешностях измерений аргументов используется метод линеаризации. Метод линеаризации основан на том, что погрешность измерения значительно меньше измеряемой величины, и поэтому вблизи средних значений Xi аргументов нелинейная функциональная зависимость линеаризуется и раскладывается в ряд Тейлора (члены высокого порядка не учитываются). Линеаризуя функцию нескольких случайных аргументов (какими и являются результаты измерений и их погрешности), можно получить, как правило, достаточно простое выражение для вычисления оценок среднего

значения и среднего квадратического отклонения функции. Разложение нелинейной функции в ряд Тейлора имеет вид:

Метод линеаризации допустим, если можно пренебречь остаточным членом R . Остаточным членом

пренебрегают, если

где X S – среднее квадратическое отклонение случайных погрешностей результата измерения x i -го аргумента. Первое слагаемое правой части уравнения есть точечная оценка истинного значения косвенной величины, которая получается подстановкой в

функциональную зависимость средних арифметических X i , значений аргументов:

Второе слагаемое

есть сумма составляющих погрешности косвенного измерения, называемых частными погрешностями, а частные производные

Коэффициентами влияния.

Отклонения ΔXi должны быть взяты из полученных значений погрешностей и такими, чтобы они максимизировали выражение для остаточного члена R . Если частные погрешности косвенного измерения не зависят друг от друга, т. е. являются некоррелированными, и известны доверительные границы погрешности аргументов при одинаковой вероятности, то предельная погрешность (без учета знака) косвенного измерения вычисляется по формуле:

значения частных производных функциональной зависимости определяются при средних значениях аргументов

Этот метод, называемый максимум-минимум, дает значительно завышенное значение погрешности косвенного измерения. Относительно правильная оценка погрешности косвенного измерения, получается, по методу квадратического суммирования

В ряде случаев расчет погрешности косвенного измерения значительно упрощается при переходе к относительным погрешностям. Для этого используется прием логарифмирования и последующего дифференцирования функциональной зависимости. Когда предельная погрешность косвенного измерения, полученная по методу максимума-минимума.

Обсудим еще раз выбор масштаба для представления этих данных в графическом виде (см. рис.30). Максимальная метка °С, соответствующая оси температур Х, очень неплохо укладывается на 40 клетках, что соответствует очень удобному разделению по 10 клеток на кажые 50°С. А сколько надо дополнительных рисок? В этом случае предлагаю расставить их через 2 клетки, что придаст простоту определения координаты, так как интервал между такими рисками будет соответствовать 10°С, что очень удобно.

А вот на оси Y я расставил риски через 5 клеток на кажые 500 Ом сопротивления, что привело к неполному использованию площади бумаги. Но, посудите сами, если разделить ось по 6 или 7 клеток, было бы неудобно находить координату, а если по 8 клеток, то максимальная риска, соответствующая 2000 Ом, не поместилась бы на оси.

Теперь надо обсудить вид теоретической кривой. Откроем методические указания по выполнению лабораторных работ на странице 28 и найдем фомулу 3, описывающую зависимость сопротивления полупроводника от темепературы ,

где – ширина запрещенной зоны, – постоянная Больцмана, – некоторая константа, имеющая размерность сопротивления, и, наконец, температура , выраженная в Кельвинах. Начнем оформлять новую таблицу. Во-первых, температуру переведем в Кельвины. Во-вторых, поставим себе задачу не только нарисовать новый график , но и найти с помощью графика ширину запрещенной зоны. Для этого прологарифмируем экспоненциальную зависимость и получим

Обозначим , , и . Тогда получим линейную зависимость ,

которую мы и будем изображать на графике. Данные, соответствующие значениям и , запишем в таблицу 9.

Таблица 9. Пересчет данных таблицы 8.

номер точки
T, K
1/T , 10 –3 K –1	3,34	3,19	3,00	2,83	2,68	2,54	2,42	2,31	2,21	2,11
lnR , Ом	7,62	7,51	7,25	7,06	6,99	6,74	6,61	6,56	6,36	6,34

Если по данным таблицы 9 построить график зависимости на рис.31, то все экспериментальные точки займут совсем немного места на листе при большом пустом пространстве. Почему так получилось? Потому что по осям Х и Y метки расставлены начиная от 0, хотя значения, например, начинаются только со значения . Обязательно ли делать начальную метку равную 0? Ответ на этот вопрос зависит от поставленных задач. В примере с маятником Обербека (см. рис.28) было очень важным найти пересечение оси Х теоретической прямой в точке с координатой Y=0, что соответствовало значению . А в этой задаче надо найти только ширину запрещенной зоны, которая связана с постоянной , соответствующая коэффициенту наклона прямой на рис.31, поэтому совсем не обязательно расставлять метки на осях, начиная с 0.

Изучая данные из табл.9 и подбирая удобный масштаб, можно с уверенностью сказать, что ориентацию миллиметровой бумаги нужно изменить, как показано на рис.32. Самостоятельно изучите выбранный масштаб и убедитесь в том, что он очень удобен для работы с графиком. На теоретической прямой (проведенной на глаз наилучшим способом между экспериментальными точками) поставим две точки А и В с координатами и . Коэффициент наклона выразим через координаты этих точек по формуле

И, наконец, вычисляем ширину запрещенной зоны

Методом парных точек рассчитаем этот же коэффициент и его погрешность , для этого рассмотрим пары точек из таблицы 9:

1–4, 2–5, 3–6, 4–7, 5–8, 6–9 и 7–10.

Рассчитаем для этих пар точек коэффициенты наклона прямых, которые проходят через них

Среднее значение

,

Теперь рассчитаем ширину запрещенной зоны и ее погрешность .

Таким образом мы пришли к ответу

эВ

Самостоятельная работа.

Предлагаю вам проделать самостоятельные рассчеты, построения и обработку графиков в следующей виртуальной лабораторной работе под кодовым названием "Определить жесткость пружины". Но поднимем планку Эксперимента на более высокий уровень: надо не просто получить число, но сравнить два метода измерения жесткости пружины – статический и динамический.

Кратко рассмотрим эти методы.

Статический метод.

Если подвесить к закрепленной вертикальной пружине груз массой , то пружина растянется на согласно закону Гука, где – длина растянутой пружины, а – длина нерастянутой пружины (начальная длина).

Примечание: закон Гука говорит о пропорциональности силы упругости пружины абсолютному удлинению , т.е. , где – коэффициент упругости (или жесткость) пружины.

В состоянии равновесия сила тяжести груза уравновесится силой упругости и мы можем написать . Раскроем скобки и увидим зависимость длины пружины от массы груза

Если сделать замену переменных , то получится уравнение прямой . Не надо делать линеаризацию!

Итак, перед вами стоит задача обработать данные из таблицы 10, которые были занесены туда юным Экспериментатором (ему надоело бросать кирпичи с крыши девятиэтажного дома). Для опытов он запасся набором грузов, нашел десяток-другой разных пружин и, подвешивая грузы разных масс, замерял длину растянутой пружины с помощью миллиметровой линейки.

Задание 1.

1. Выберите номер пружины из таблицы 10.

2. Составьте свою таблицу из двух столбцов. В первый столбец занесите силу тяжести , где – масса груза (в кг), м/с 2 . Во второй столбец перенесите значения длин выбранной пружины (в метрах). Предусмотрите ячейки для средних значений и .

Таблица 10.

m, г	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см
	11,8	15,4	17,6	19,4	13,2	15,4	19,6	21,4	11,2
	12,3	16,5	18,3	21,5	14,3	16,5	21,3	22,4	11,7
	13,6	17,6	19,3	21,6	14,8	16,5	22,1	22,6	12,7
	14,1	18,2	21,5	22,1	15,6	17,3	21,5	23,7	13,1
	16,6	22,3	22,5	24,9	17,6	19,9	23,9	25,5	15,4
	21,6	25,6	27,4	29,5	21,4	23,8	27,7	29,9	18,3
	22,5	26,4	28,8	31,4	22,6	24,2	28,8	32,1	19,6
	23,3	27,9	29,4	31,7	23,8	25,6	29,5	31,7	22,1
	26,2	32,1	32,0	34,3	25,5	27,9	31,9	33,6	22,2
	27,8	31,4	33,7	35,3	27,6	29,1	33,2	35,3	23,1

Таблица 10 (продолжение)

m, г	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см
	15,1	17,1	19,3	11,4	15,3	19,0	10,8	15,2	19,1
	15,6	17,7	19,7	11,6	15,6	19,6	11,5	15,3	19,3
	16,7	18,5	21,2	12,0	16,1	20,4	12,3	16,3	20,2
	17,3	19,3	21,4	12,5	16,5	20,7	12,4	16,7	20,4
	19,4	21,1	23,5	14,9	18,9	22,4	14,2	18,0	21,8
	22,3	24,6	26,3	17,4	21,4	25,8	16,5	20,7	24,4
	23,5	25,6	27,0	18,2	22,3	26,1	17,2	21,6	25,7
	24,4	26,1	28,5	19,4	23,3	27,0	18,4	22,0	26,4
	26,4	28,5	31,1	20,3	24,5	28,6	19,3	23,5	27,3
	27,0	29,0	31,4	21,9	25,8	29,9	20,7	24,7	28,5

3. Возьмите лист миллиметровой бумаги, нанесите на ней оси координат. В соответствии с данными выберите оптимальный масштаб и постройте график зависимости силы тяжести от длины пружины , откладывая значения вдоль оси Х, а величины вдоль оси Y.

4. Составьте 7 пар точек: 1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9, 7-10. Методом парных точек рассчитайте 7 коэффициентов наклона по формуле

И т.д.

5. Найдите среднее значение , что соответствует среднему значению коэффициента упругости пружины .

6. Найдите среднеквадратичное отклонение , доверительный интервал , (т.к. получено 7 значений ). Представьте результат в виде

Дополнительное задание (необязательное)

7. Рассчитайте начальную длину пружины. Для этого получите выражение для коэффициента из уравнения равновесия и подставьте в него средние значения

8. Рассчитайте доверительный интервал для коэффициента

9. Учитывая, что , рассчитайте начальную длину пружины и доверительный интервал для нее

,

Динамический метод

Подвесим груз массы к закрепленной вертикальной пружине жесткости и толкнем его легонько вниз. Начнутся гармонические колебания, период которых равен (см. , стр 76). Выразим массу груза через период колебаний

25. Методы линеаризации нелинейных САУ.

С т. зрения передачи и преобразования сигнала НЛ отлич. от линейных систем тем, что мгновенный коэфффициент передачи зависит от значения входного сигнала. САУ, содержащие звенья, динамика которых описывается НЛ дифференц. уравнениями относят к НЛ системам .

НС-динамика к-х описывается нелин-ми диф ур-ми, это сис-мы, имеющие нелинейную стст-ю хар-ку.

Систему можно представить в виде соединения из 2-х элементов:

можно свести к:

ЛЧ

ЛЧ описывается обычными диф ур-ми с пост-ми коэфф-ми.

НЭ является безинерционным и его выходная величина и вход. величина связаны связаны между собой НЛ алгебраическим уравнением. Нелинейность обусловлена нелинейностью статической характеристики одного из элементов системы.

Методы линеаризации нелинейных САУ.

метод гармонической линеаризации

статическая линеаризация

совместная стат и гармон линеаризация

вибролинеаризация

Метод гармонической линеаризации.

Сущность метода гарм-ой линеаризации заключается в отыскании периодического решения на входе нелинейного элемента, разложение сигнала на выходе нелинейного элемента в ряд Фурье и замены вых сигнала его первой гармоникой. Такая замена справедлива если сис или ЛЧ явл-ся фильтром низкой частоты, т.е. подавляет высшие гармоники.

В рез-те линеаризации нелин стат хар-ку заменяют эквивалентным линейным звеном с коэффициентами

И для гистерезисных хар-ик (петлевых) значение k / Г всегда получается отрицательным, т.е. в ур-ие вводят производную с отриц знаком и эта производная дает запаздывание в работе звена. Такую линеар-ю наз-т гармонической т.к. она связана с разложением нелин колебаний на гармонич-ие составляющие.

k / Г и k Г – гарм-ие коэф-ты усиления нелин звена.

Отличия гарм-ой линеар-ии от обычной:

При гарм-ой линеаризации нелин хар-ку заменят прямой, крутизна которой зависит от амплитуды входного сигнала.

Гарм-ая линеаризация позволяет вместо нелин звена получить линейное, к-т усиления которого зависит от а.

Гарм-ая линеар-ия дает возможность опредилить св-ва нелин САУ методами линейной теории автом-х сис-м.

Статическая линеаризация.

Этот метод приближенного исследования точности нелин сис в стационарных случ реж-ах.

В качестве примера возьмем нелин звено со стат хар-ой типа насыщение.

Пусть на входе стационарный случ. Сигнал.

X (t )= m x + x 0 (t )

Y(t)=m y +y 0 (t)

Задача стат лин-ии закл-ся в том чтобы найти линейное звено дающее при том же вх сигнале x (t ) вых сигнал = эквивалентному вых сигналу нелин звена при этом надо чтобы эквив-й сигнал максимально приближался к y (t ).

Точность линеариз зависит от того, какой критерий выбран для сравнения y экв и y .

Сущ 2 критерия сравнения y экв и y :

1. по первому способу линеаризация осущ-ся исходя из след условий

при выполнении первого условия линейное звено будет полностью эквивалентно исх-му нелин звену в отношении пропускания заданной детерменированной составляющей вх сигнала. Второе условие означает эквивалентность в отношении пропускания центрированной случ составляющей вх сигнала. В связи с тем что дисперсия не определяет полностью закона распределения случ величины выбор ур-ия эквивалентного линейного звена только по дисперсии определяет погрешность данной стат линеаризации.

2. основан на линеаризации разности

К-ты стат линеар-ии:

Совместная статическая и гармоническая линеаризация.

Случай когда в сис присутствуют автоколебания и на вх сис подаются случ воздействия:

f(t)=m f +f 0 (t)

x(t)=m x +x 0 (t)+a*sin w a t

Из-за неприменимости принципа суперпозиции необходимо учитывать наличие всех 3-х составляющих для этого надо осущ-ть совместную стат и гарм линеа-ию, в рез-те этого сигнал на выходе:

в случ симметр-ой нелин стат хар-ки пост состав-ую

m y = y 0 = k сг0 m x

эти 4 к-та опред-ся по фор-ам для гарм-ой и стат линеар-ии. Эти к-ты уже будут зависеть от 4-х составляющих (m x , s x , a , w a )

При исследовании сис m x , s x , a , w a - определяются совместным решением ур-ий для колебательной составляющей и для случ состав-ей.

Применяя совместно стат и гармонич линеаризацию можно решать две задачи:

можно исследовать влияние внешних случ воздействий на параметры возможных автоколебаний.

можно исследовать точность сис в случ режимах при наличии сис гармонических колебаний.

Вибролинеаризация.

Испол-ся для исключения эффекта наличия нелин-х хар-к (люфт и зона нечувст-ти).

При виб-ой лин-ии на вх нелин звена на постоянный или медленно изменяющиюся сигнал накладывается высокочастотная состав-ая и в рез-те этого нелин звено пропускает пост сост-ую как пропорциональное звено.

Рассмотрим метод виб-ой лин-ии на примере релейной сис:

зависимость y 0 = f (x 0 ) ,где y 0 зависит от x 0 и от формы нелин-ой стат хар-ки, т.о. при наличии переменного воздействия, этот элемент пропускает пост воздействие x 0 как звено непрерывного действия.

Сам процесс виб-й лин-ии можно трактовать как процесс модуляции, в данном примере реле явл-ся модулятором высокочас-ое воздействие - сигнал несущей частоты, а НЧ вх сигнал x 0 явл-ся модулирующим сигналом. В данном случае осущ-ся ШИМ и ф-ей модулир-го сигнала явл-ся ширина вых имп-са и условие неискаженной передачи НЧ-составляющей явл-ся f ВЧ / f НЧ >=3

Когда реле работает в составе САУ обычно НЧ сигнал x 0 представляет собой сигнал управления и изменения во времени x 0 и есть перех-ой процесс в сис.

ВЧ воздействие осущ виб-ой лин-ей м.б. получено 3-я способами:

С пом внешнего генератора, создающего вынужд-е колебания на вх нелин элемента.

Путем создания автоколебаний в самой САУ.

Путем создания скользящего режима.

Метод гармонической линеаризации позволяет с достаточной для практики точностью исследовать устойчивость и точность нелинейных систем, используя методы, разработанные для линейных систем. Метод дает возможность определить наличие автоколебаний, а также их частоту и амплитуду.

Нелинейная система представляется в виде соединения линейной и нелинейной части (рис. 5).

Рис. 5 Схема нелинейной системы

Выходной сигнал нелинейной части системы в общем случае определяется выражением

Обозначим как передаточную функцию линейной части. Система уравнений примет вид

Найдем условия, при которых на выходе линейной части системы возникают гармонические колебания вида

В этом случае сигнал y(t) нелинейной части будет представлять собой также периодическую функцию, но отличную от синусоиды. Эту функцию можно разложить в ряд Фурье

В этом выражении a i и b i - коэффициенты Фурье. Для симметричных нелинейностей F 0 =0.

Основным условием, которое накладывает метод на линейную часть системы, является условие фильтра нижних частот. Считается, что линейная часть пропускает только первую гармонику колебаний. Данное допущение позволяет считать высшие гармоники в (7.19) несущественными и ограничиться рассмотрением только первой гармоники сигнала y(t).

то выражение (7.20) можно переписать в виде

Первое уравнение системы (7.17) примет вид

В этом выражении

Результат замены нелинейности F(x,sx) выражением

и называется гармонической линеаризацией. Величины q и q 1 называются коэффициентами гармонической линеаризации или просто гармоническими коэффициентами. Для однозначных нелинейностей обычно q 1 =0 . Формулы для гармонических коэффициентов, соответствующих типовым нелинейностям, приводятся в приложениях.

Принципиальное отличие гармонической линеаризации от обычной состоит в том, что при обычной линеаризации нелинейную характеристику заменяют прямой линией с определенной постоянной крутизной, а при гармонической линеаризации - прямой линией, крутизна которой зависит от амплитуды входного сигнала нелинейного элемента.

Рассмотрим методику определения амплитуды и частоты автоколебаний.

1). В характеристическом уравнении системы, полученном из (7.22) делаем замену s=j и получим

2). Из полученного выражения выделяем вещественную и мнимую части и приравниваем их нулю, что, по критерию Михайлова, соответствует нахождению системы на колебательной границе устойчивости.

• 3).Решение этой системы дает частоту и значения гармонических коэффициентов. Если эти значения вещественны и положительны, то в системе существует предельный цикл. По значениям гармонических коэффициентов можно определить амплитуду предельного цикла.
• 4). Общим признаком устойчивости предельного цикла, т.е. существования автоколебаний, является равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица при полученных значениях амплитуды и частоты предельного цикла. Часто более удобно использовать условие устойчивости предельного цикла, в основе которого лежит критерий устойчивости Михайлова.

Если это неравенство выполняется, то предельный цикл устойчив и в системе существуют автоколебания с определенными выше амплитудой и частотой. Индекс ”*” означает, что производные вычислены при уже известных значениях гармонических коэффициентах, амплитуды и частоты.

Пример. Допустим, что в уже рассмотренной выше системе стабилизации угла тангажа самолета рулевой привод нелинейный и его структурная схема имеет вид, показанный на рис. 7.6.

Рис.6 Схема нелинейного рулевого привода

Зададим следующие параметры нелинейности скоростной характеристикм рулевого привода: b = 0.12, k 1 = tg =c/b = 6.7. Коэффициенты гармонической линеаризации этой нелинейности определяются выражениями

Заменив в схеме нелинейную характеристику гармоническим коэффициентом, получим передаточную функцию рулевого привода

Подставим эту передаточную функцию в структурную схему системы стабилизации угла тангажа и определим передаточную функцию замкнутой системы

В характеристическом уравнении замкнутой системы сделаем замену s = j и выделим вещественную и мнимую части.

Из второго уравнения системы получим выражение для частоты: , и подставив его в первое уравнение, после преобразований получим

Подставив сюда ранее определенные выражения для коэффициентов характеристического уравнения, можно получить квадратное уравнение относительно гармонического коэффициента, решив которое, найдем

По этим значениям можно вычислить для двух случаев все коэффициенты характеристического уравнения и определить частоты, соответствующие каждому значению q(А). Получим:

Оба значения гармонического коэффициента и соответствующие частоты вещественны и положительны. Следовательно, в системе существуют два предельных цикла. Значения амплитуды предельного цикла определяются численно путем подбора такого значения при котором формула для коэффициента гармонической линеаризации дает значение, равное ранее вычисленному. В рассматриваемом случае получим

Теперь оценим устойчивость предельных циклов. Используем неравенство, полученное из критерия Михайлова, для чего определим

Производная от коэффициента гармонической линеаризации, входящая в полученные выражения, вычисляется по формуле

Расчеты по выше приведенным формулам показывают, что первый предельный цикл не устойчив и возникает он при (0) 0.1166(6.7 0 ). Если начальное отклонение меньше указанного, то процесс на входе нелинейного элемента затухает (рис.7. 7) и система устойчива.

Если начальное значение угла тангажа больше указанного, то процессы сходятся ко второму предельному циклу, который устойчив и, таким образом в системе возникают автоколебания (рис. 8).

Рис. 8

Путем моделирования определено, что область притяжения устойчивого предельного цикла лежит приблизительно в пределах (0) 0.1167 - 1.4 (6.71 0 - 80.2 0 ).

Метод линеаризации операторов с точки зрения изложенной в предыдущих главах общей теории случайных функций может быть применен в двух различных вариантах. Во-первых, можно непосредственно линеаризовать заданную зависимость между случайными функциями и заменить таким образом нелинейные уравнения, связывающие случайные функции, линейными. Во-вторых, можно применить метод канонических разложений, который приводит к замене операций над случайными функциями операциями над обычными случайными величинами, после чего можно применить обычный в теории вероятностей метод линеаризации функциональных зависимостей между случайными величинами.

Метод непосредственной линеаризации преобразования случайных функций состоит в замене всех заданных уравнений, связывающих случайные функции, приближенными линейными уравнениями, достаточно хорошо отражающими истинную зависимость между случайными функциями в области практически возможных реализаций случайных функций. Так как математические ожидания случайных величин

являются средними значениями, около которых рассеиваются их возможные реализации, то практически удобнее всего производить линеаризацию соотношений между случайными функциями относительно их отклонений от математических ожиданий, т. е. центрированных случайных функций. При этом все функции, входящие в заданные уравнения, следует разложить в ряды Тейлора по центрированным случайным функциям и отбросить члены этих рядов выше первой степени. Степень точности получаемого таким образом приближения может быть оценка по максимальной возможной величине отброшенных членов в области практически возможных реализаций случайных функций. Заменив данные уравнения, связывающие случайные функции, приближенными линейными уравнениями, мы можем применить изложенную в предыдущей главе теорию линейных преобразований случайных функций для приближенного определения математических ожиданий и корреляционных функций случайных функций, полученных в результате рассматриваемого нелинейного преобразования. В следующем параграфе мы дадим более подробное изложение метода непосредственной линеаризации в применении к случайным функциям скалярной независимой переменной, связанным обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Перейдем к применению метода канонических разложений к приближенному исследованию нелинейных преобразований случайных функций. Предположим, что случайная функция получается в результате преобразования случайной функции при помощи некоторого нелинейного оператора А:

Подставляя сюда вместо случайной функции какое-либо ее каноническое разложение, получим:

Это равенство представляет случайную функцию как некоторую, вообще говоря нелинейную, функцию случайных величин в которую аргумент 5 входит как параметр:

Линеаризуя эту функцию обычным в теории вероятностей способом (см. § 31) и принимая во внимтние, что математические ожидания величин равны нулю, будем иметь:

есть значение производной функции по случайной величине при нулевых значениях всех величин что и отмечено нуликом внизу у квадратной скобки. Формула (100.5) дает приближенное каноническое разложение случайной функции с коэффициентами разложения и координатными функциями

Принимая во внимание, что математические ожидания всех величин равны нулю, получим из (100.5) следующую приближенную формулу для математического ожидания случайной функции

Таким образом, для приближенного определения математического ожидания случайной функции следует в соотношении (100.1), связывающем случайные функции и заменить эти случайные функции их математическими ожиданиями Это правило вполне аналогично правилу приближенного определения математического ожидания случайной величины, связанной с другой случайной величиной нелинейной функциональной зависимостью, выведенному в § 31.

Корреляционная функция случайной функции на основании общей формулы (56.2), выразится приближенной формулой