Как вычислять соотношения. Соотношение между коэффициентами ошибки замкнутой системы

Соотношение (в математике) - это взаимосвязь между двумя или более числами одного рода. Соотношения сравнивают абсолютные величины или части целого. Соотношения вычисляются и записываются по-разному, но основные принципы одинаковы для всех соотношений.

Шаги

Часть 1

Определение соотношений

Использование соотношений. Соотношения используются как в науке, так и в повседневной жизни для сравнения величин. Простейшие соотношения связывают только два числа, но есть соотношения, сравнивающие три или более значения. В любой ситуации, в которой присутствует более одной величины, можно записать соотношение. Связывая некоторые значения, соотношения могут, например, подсказать, как увеличить количество ингредиентов в рецепте или веществ в химической реакции.

1. Определение соотношений. Соотношение - это взаимосвязь между двумя (или более) значениями одного рода. Например, если для приготовления торта необходимы 2 стакана муки и 1 стакан сахара, то соотношение муки к сахару равно 2 к 1.

   • Соотношения могут быть использованы и в тех случаях, когда две величины не связаны друг с другом (как в примере с тортом). Например, если в классе учатся 5 девочек и 10 мальчиков, то соотношение девочек к мальчикам равно 5 к 10. Эти величины (число мальчиков и число девочек) не зависят друг от друга, то есть их значения изменятся, если кто-то уйдет из класса или в класс придет новый ученик. Соотношения просто сравнивают значения величин.

2. Обратите внимание на разные способы представления соотношений. Соотношения могут быть представлены словами или при помощи математических символов.

   • Очень часто соотношения выражены словами (как показано выше). Особенно такая форма представления соотношений применяется в повседневной жизни, далекой от науки.
   • Также соотношения можно выразить через двоеточие. При сравнении двух чисел в соотношении вы будете использовать одно двоеточие (например, 7:13); при сравнении трех и более значений ставьте двоеточие между каждой парой чисел (например, 10:2:23). В нашем примере с классом вы можете выразить соотношение девочек и мальчиков так: 5 девочек: 10 мальчиков. Или так: 5:10.
   • Реже соотношения выражаются при помощи наклонной черты. В примере с классом оно может быть записано так: 5/10. Тем не менее это не дробь и читается такое соотношение не как дробь; более того, запомните, что в соотношении цифры не представляют собой часть единого целого.

   Часть 2

   Использование соотношений

   1. Упростите соотношение. Соотношение можно упростить (аналогично дробям), разделив каждый член (число) соотношения на . Однако при этом не упустите из виду исходных значений соотношения.

      • В нашем примере в классе 5 девочек и 10 мальчиков; соотношение равно 5:10. Наибольший общий делитель членов соотношения равен 5 (так как и 5, и 10 делятся на 5). Разделите каждое число соотношения на 5 и получите соотношение 1 девочка к 2 мальчикам (или 1:2). Однако при упрощении соотношения помните об исходных значениях. В нашем примере в классе не 3 ученика, а 15. Упрощенное соотношение сравнивает количество мальчиков и количество девочек. То есть на каждую девочку приходится 2 мальчика, но в классе не 2 мальчика и 1 девочка.
      • Некоторые соотношения не упрощаются. Например, соотношение 3:56 не упрощается, так как у этих чисел нет общих делителей (3 - простое число, а 56 не делится на 3).

   2. Используйте умножение или деление для увеличения или уменьшения соотношения. Распространены задачи, в которых необходимо увеличить или уменьшить два значения, пропорциональных друг другу. Если вам дано соотношение и нужно найти соответствующее ему большее или меньшее соотношение, умножьте или разделите исходное соотношение на некоторое данное число.

      • Например, пекарю нужно утроить количество ингредиентов, данных в рецепте. Если по рецепту соотношение муки к сахару составляет 2 к 1 (2:1), то пекарь умножит каждый член соотношения на 3 и получит соотношение 6:3 (6 чашек муки к 3 чашкам сахара).
      • С другой стороны, если пекарю необходимо уполовинить количество ингредиентов, данных в рецепте, то пекарь разделит каждый член соотношения на 2 и получит соотношение 1:½ (1 чашка муки к 1/2 чашке сахара).

   3. Поиск неизвестного значения, когда даны два эквивалентных соотношения. Это задача, в которой необходимо найти неизвестную переменную в одном соотношении при помощи второго соотношения, которое эквивалентно первому. Для решения таких задач пользуйтесь . Запишите каждое соотношение в виде обыкновенной дроби, поставьте между ними знак равенства и перемножьте их члены крест-накрест.

      • Например, дана группа учеников, в которой 2 мальчика и 5 девочек. Каково будет число мальчиков, если число девочек увеличить до 20 (пропорция сохраняется)? Во-первых, запишите два соотношения - 2 мальчика:5 девочек и х мальчиков:20 девочек. Теперь запишите эти соотношения в виде дробей: 2/5 и х/20. Перемножьте члены дробей крест-накрест и получите 5x = 40; следовательно, х = 40/5 = 8.

      Часть 3

      Распространенные ошибки

      1. Избегайте сложения и вычитания в текстовых задачах на соотношение. Многие текстовые задачи выглядят примерно так: «В рецепте необходимо использовать 4 клубня картофеля и 5 корнеплодов моркови. Если вы хотите добавить 8 клубней картофеля, то сколько понадобится моркови, чтобы соотношение осталось неизменным?» При решении подобных задач ученики часто допускают ошибку, прибавляя одинаковое количество ингредиентов к исходному числу. Однако, чтобы сохранить соотношение, нужно использовать умножение. Вот примеры правильного и неправильного решения:

         • Неверно: «8 - 4 = 4 - так мы добавили 4 клубня картофеля. Значит, нужно взять 5 корнеплодов моркови и к ним добавить еще 4... Стоп! Соотношения так не вычисляют. Стоит попробовать снова».
         • Верно: «8 ÷ 4 = 2 - значит, мы умножили количество картофеля на 2. Соответственно, 5 корнеплодов моркови тоже нужно умножить на 2. 5 x 2 = 10 - в рецепт нужно добавить 10 корнеплодов моркови».
         В текстовых задачах гораздо проще распознать ошибку, если записывать единицы измерения после каждого значения. Помните, что величины с одними и теми же единицами измерения в числителе и знаменателе сокращаются. Сократив выражение, вы получите верный ответ.
         • Пример: дано 6 коробок, в каждой третьей коробке находится 9 шариков. Сколько всего шариков?
         • Неверно: 6 коробок x 3 коробки/9 шариков = ... Стоп, ничего нельзя сократить. Ответ будет таким: «коробки x коробки / шарики». Он не имеет смысла.
         • Верно: 6 коробок x 9 шариков/3 коробки = 6 коробок * 3 шарика/1 коробку = 6 коробок * 3 шарика/1 коробку = 6 * 3 шарика/1 = 18 шариков.

Свободная и вынужденная составляющие переходного процесса и показатели, их характеризующие

2. Два подхода к определению выходного сигнала системы автоматического управления

3. Точность систем автоматического управления и различные способы ее оценки

4. Представление сигнала ошибки замкнутой системы через входной сигнал и его производные. Коэффициенты ошибок

5. Представление выходного сигнала замкнутой системы через входной сигнал и его производные

6. Определение коэффициентов ошибок выходного сигнала через импульсную переходную функцию

7. Соотношение между коэффициентами ошибки замкнутой системы и коэффициентами разложения в ряд Тейлоравыходного сигнала

8. Метод вычисления коэффициентов ошибок через коэффициенты передаточной функции разомкнутой системы

9. Коэффициенты ошибки для систем автоматического управления различного порядка астатизма.

10. Практический способ вычисления коэффициентов ошибок по выражению передаточной функции ошибки

11. Добротность систем автоматического управления

11.1 Сигнал ошибки и коэффициенты добротности для статической системы.

11.2 Сигнал ошибки и коэффициенты добротности для астатической системы первого порядка.

11.3 Сигнал ошибки и коэффициенты добротностидля астатической системы второго порядка.

1. Свободная и вынужденная составляющие переходного процесса и показатели, их характеризующие

При исследовании систем автоматического управления приходится решать задачу обеспечения требуемых показателей качества переходного процесса: быстродействия,колебательности, перерегулирования. Качественные показатели (качество) переходных процессов в системах автоматического управления обычно рассматривается на основе анализа переходных процессов, вызванных внешним воздействием.

Будем полагать, что система автоматического управления описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

При изменении внешнего воздействия на входе системы выходную величину можно записать следующим образом: .

где - решение дифференциального уравнения, описывающего систему ;

- свободная составляющая переходного процесса, соответствующая общему решению однородного дифференциального уравнения.

- вынужденная (установившаяся) составляющая переходного процесса, обусловленная законом изменения .

Если дифференциальное уравнениене имеет кратных корней, то свободная составляющая переходного процесса может быть представлена в следующем виде:

где - постоянная интегрирования, значение которой определяют параметры системы и начальные условия;

s, - корни характеристического уравнения замкнутой системы

Качество переходногопроцесса можно оценить по его составляющим и .

В этом смысле различают две группы показателей:

первая- показатели качества переходного процесса ;

вторая - показатели, характеризующие вынужденную (установившуюся) составляющую , по которой определяют точность системы.

Показатели качества, определяемые непосредственно по кривой переходного процесса, называют прямыми оценками качества. Кривая переходного процесса может быть получена теоретически или экспериментально.

В тех случаях, когда расчет переходного процесса связан с большими трудностями, используют косвенные оценки качества. Например, обращаются к косвенным оценкам качества по вещественной частотной характеристике замкнутой системы.

Помимо статистических ошибок, которые будут рас­смотрены позже, точность работы систем автоматического управления характери­зуетсядинамическимиипереходными ошибками.

§2. Задачи на исследование решений линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными

Пример 1 . Определить, при каких значениях параметра m система уравнений

имеет единственное решение.

Решение

Система имеет единственное решение, если отношение коэффициентов при х неравно отношению коэффициентов при у:

.

Перейдем от сравнения отношений к сравнению произведений. Тогда в рассмотрение включаются и нулевые значения коэффициентов, зависящих от параметре m .

Решая полученное безразличное неравенство, найдем

3 + 8m + 4m 2 ≠ 4 + 5m ; 4m 2 + 3m – 1 ≠ 0.

Если m 1 и m 2 корни многочлена 4m 2 + 3m – 1 ≠ 0, то

m 1 = – 1; m 2 = position:absolute;z-index:1;left:0px;margin-left:11px;margin-top:2px; width:14px;height:74px">

m ≠ – 1,

m ≠

или в виде объединения промежутков:

m (– ∞; – 1) (– 1; )(;+∞).

Еще раз отметим, что при m = –EN-US">m = – или при m = –EN-US">m , так же как и при бесчисленном множестве других, удовлетворяющих полученному числовому множеству, данная система будет иметь единственное решение.

Ответ : Система имеет единственное решение, если

m (– ∞; – 1) (– 1; 0,25)EN-US">m и n система уравнений

имеет бесчисленное множество решений.

Решение

Система имеет бесчисленное множество решений, если отношение коэффициентов при х равно отношению коэффициентов при у и равно отношению свободных членов, то есть

Заменим полученную цепочку равенств системой уравнений

Переходя от дробных уравнений к целым. Включаем в рассмотрение и нулевые значения коэффициентов данной системы. (Следует отметить, что не все коэффициенты данной системы могут обращаться в нуль. Один из них EN-US">n ≠ 0. Очевидно, что искомый ответ должен этому условию удовлетворять.)

EN-US">n 2 + n – 6 = 0,

n (n 2 + m ) = 10.

Разрешая относительно и m 1-е и 2-е уравнения системы, получим

n 1 = – 3; n 2 = 2,

m = – n 2.

Откуда

Если n 1 = – 3; Если n 2 = 2,

то m 1 = –– 9 = –; то m 2 = EN-US">m и n в алфавитном порядке, имеем

Ответ: {(–; –3); (1; 2)}

Пример3 . Определить при каких значениях параметра m система уравнений

(2m – 3)x – my = 3m – 2,

(2m + 3)y – 5x + 5 = 0

не имеет решений.

Решение

Система уравнений не имеет решений, если отношение коэффициентов при х равно отношению коэффициентов при у, но неравно отношению свободных членов. Это правило, как и предыдущие, предлагает, что в записи данных уравнений неизвестные находятся в одной (например левой) части равенств и чередуются одинаково. Предполагается так же, что и свободные члены находятся в одной (например правой) части равенств. Удовлетворяя эти требования

(2m – х)x – my = 3m – 2,

– 5x + (2m + 3)у = – 5

и используя признак несовместимости системы, получим

Система удовлетворяется при m = EN-US">m = 2,25.

Упражнения

1. Определить, при каких значениях параметра m система уравнений

2х + my =5

имеет единственное решение.

Ответ: m (– ∞; – 1,5) position:absolute;z-index:9;left:0px;margin-left:59px;margin-top:23px; width:14px;height:62px"> При каких значениях параметра m система уравнений

(2m + 1)x +7y = 2m ,

Относительные величины бывают четырех видов: интенсивные, экстенсивные, показатели соотношения, показатели наглядности.

Интенсивные показатели - показывают частоту явления в среде. В качестве среды обычно выступает некая совокупность объектов (населения, пациентов, случаев), у части которых происходит какое-то явление. Рассчитывается по следующей формуле:

И.п. = явление/среда*коэффициент.

Коэффициент используется для удобства представления показателя, представляет собой различные степени числа 10 и обычно принимает значения 100, 1000, 10 000, 100 000. Его величина зависит от частоты встречаемости явления: чем реже встречается, тем больше коэффициент. Так, показатели рождаемости, смертности, общей заболеваемости населения обычно рассчитываются на 1000 человек. При расчете материнской смертности, как значительно более редкого события, используется коэффициент 100 000. Наоборот, частота такого распространенного явления, как случай временной утраты трудоспособности, рассчитывается на 100 работающих.

Пример расчета интенсивного показателя:

За год в больнице Н. было выполнено 360 хирургических операций. В 54 случаях в послеоперационном периоде наблюдались различные осложнения. Найти частоту послеоперационных осложнений из расчета на 100 операций.

Решение: Частота послеоперационных осложнений - это интенсивный показатель, который может быть рассчитан как отношение явления к среде. Средой выступает совокупность выполненных операций (360), из числа которых в 54 случаях, как следует из условия задачи, происходило явление - отмечались послеоперационные осложнения. Таким образом:

Частота послеоперационных осложнений = (Число случаев послеоперационных осложнений) / (Число выполненных операций) * 100 = (54 / 360) * 100 = 15.

Значение коэффициента принято равным 100, так как в условии задачи спрашивается частота, рассчитанная на 100 выполненных операций.

Ответ: Частота послеоперационных осложнений в больнице Н. за год составила 15 случаев на 100 выполненных операций.

Экстенсивные показатели - характеризуют структуру явления, измеряются в процентах, реже - в промилле или долях единицы. Экстенсивные величины показывают, какую часть составляет отдельная группа единиц в структуре всей совокупности. Рассчитываются по формуле:

Э.п. = часть/целое*100%.

Пример расчета экстенсивного показателя:

В исследовании эффективности лечения пневмонии с использованием нового антибиотика приняли участие 200 пациентов, из них 90 - мужчины. Необходимо определить долю мужчин среди исследуемых, результат выразить в %.

Решение: Пациенты мужского пола представляют собой часть от всей совокупности исследуемых. Следовательно, мы должны воспользоваться формулой для расчета экстенсивных показателей:

Доля пациентов мужского пола среди всех исследуемых = (число мужчин) / (число всех пациентов) * 100% = (90 / 200) * 100% = 45%.

Ответ: Доля пациентов в структуре исследуемых составляет 45%.

Показатели соотношения - характеризуют отношение двух не связанных между собой совокупностей. Данные совокупности могут измеряться в одних величинах, главное условие, что их изменения должны происходить независимо друг от друга. Обычно в таком виде представляются различные индексы, коэффициенты, показатели обеспеченности населения. Рассчитываются по следующей формуле:

П.с. = (первая совокупность) / (вторая совокупность)*коэффициент

Коэффициент обычно принимает значения 1 (для индексов) или 10 000 (для показателей обеспеченности населения).

Пример расчета показателя соотношения:

В одном из районов Республики Татарстан проживает 40 000 населения. В лечебно-профилактических учреждениях данного района развернуты 384 стационарные койки. Какова обеспеченность населения койками в районе?

Решение: Мы имеем две совокупности: население и стационарные койки. Изменения числа населения не зависят от изменений числа стационарных коек и наоборот, в связи с чем делаем вывод о том, что представленные совокупности не связаны между собой. Рассчитаем показатель обеспеченности населения стационарными койками:

Обеспеченность населения койками = (число коек) / (численность населения) *10 000 = (384 / 40 000) * 10 000 = 96.

Ответ: Обеспеченность населения стационарными койками составляет 96 на 10 000 населения.