Множественная регрессия используется если. Уравнение регрессии

⁰

Задачей множественной линейной регрессии является построение линейной модели связи между набором непрерывных предикторов и непрерывной зависимой переменной. Часто используется следующее регрессионное уравнение:

Здесь а i - регрессионные коэффициенты, b 0 - свободный член(если он используется), е - член, содержащий ошибку - по поводу него делаются различные предположения, которые, однако, чаще сводятся к нормальности распределения с нулевым вектором мат. ожидания и корреляционной матрицей .

Такой линейной моделью хорошо описываются многие задачи в различных предметных областях, например, экономике, промышленности, медицине. Это происходит потому, что некоторые задачи линейны по своей природе.

Приведем простой пример. Пусть требуется предсказать стоимость прокладки дороги по известным ее параметрам. При этом у нас есть данные о уже проложенных дорогах с указанием протяженности, глубины обсыпки, количества рабочего материала, числе рабочих и так далее.

Ясно, что стоимость дороги в итоге станет равной сумме стоимостей всех этих факторов в отдельности. Потребуется некоторое количество, например, щебня, с известной стоимостью за тонну, некоторое количество асфальта также с известной стоимостью.

Возможно, для прокладки придется вырубать лес, что также приведет к дополнительным затратам. Все это вместе даст стоимость создания дороги.

При этом в модель войдет свободный член, который, например, будет отвечать за организационные расходы (которые примерно одинаковы для всех строительно-монтажных работ данного уровня) или налоговые отчисления.

Ошибка будет включать в себя факторы, которые мы не учли при построении модели (например, погоду при строительстве - ее вообще учесть невозможно).

Пример: множественный регрессионный анализ

Для этого примера будут анализироваться несколько возможных корреляций уровня бедности и степень, которая предсказывает процент семей, находящихся за чертой бедности. Следовательно мы будем считать переменную характерезующую процент семей, находящихся за чертой бедности, - зависимой переменной, а остальные переменные непрерывными предикторами.

Коэффициенты регрессии

Чтобы узнать, какая из независимых переменных делает больший вклад в предсказание уровня бедности, изучим стандартизованные коэффициенты (или Бета) регрессии.

Рис. 1. Оценки параметров коэффициентов регрессии.

Коэффициенты Бета это коэффициенты, которые вы бы получили, если бы привели все переменные к среднему 0 и стандартному отклонению 1. Следовательно величина этих Бета коэффициентов позволяет сравнивать относительный вклад каждой независимой переменной в зависимую переменную. Как видно из Таблицы, показанной выше, переменные изменения населения с 1960 года (POP_ CHING), процент населения, проживающего в деревне (PT_RURAL) и число людей, занятых в сельском хозяйстве (N_Empld) являются самыми главными предикторами уровня бедности, т.к. только они статистически значимы (их 95% доверительный интервал не включает в себя 0). Коэффициент регрессии изменения населения с 1960 года (Pop_Chng) отрицательный, следовательно, чем меньше возрастает численность населения, тем больше семей, которые живут за чертой бедности в соответствующем округе. Коэффициент регрессии для населения (%), проживающего в деревне (Pt_Rural) положительный, т.е., чем больше процент сельских жителей, тем больше уровень бедности.

Значимость эффектов предиктора

Просмотрим Таблицу с критериями значимости.

Рис. 2. Одновременные результаты для каждой заданной переменной.

Как показывает эта Таблица, статистически значимы только эффекты 2 переменных: изменение населения с 1960 года (Pop_Chng) и процент населения, проживающего в деревне (Pt_Rural), p < .05.

Анализ остатков. После подгонки уравнения регрессии, почти всегда нужно проверять предсказанные значения и остатки. Например, большие выбросы могут сильно исказить результаты и привести к ошибочным выводам.

Построчный график выбросов

Обычно необходимо проверять исходные или стандартизованные остатки на большие выбросы.

Рис. 3. Номера наблюдений и остатки.

Шкала вертикальной оси этого графика отложена по величине сигма, т.е., стандартного отклонения остатков. Если одно или несколько наблюдений не попадают в интервал ± 3 умноженное на сигма, то, возможно, стоит исключить эти наблюдения (это можно легко сделать через условия выбора наблюдений) и еще раз запустить анализ, чтобы убедится, что результаты не изменяются этими выбросами.

Расстояния Махаланобиса

Большинство статистических учебников уделяют много времени выбросам и остаткам относительно зависимой переменной. Тем не менее роль выбросов в предикторах часто остается не выявленной. На стороне переменной предиктора имеется список переменных, которые участвуют с различными весами (коэффициенты регрессии) в предсказании зависимой переменной. Можно считать независимые переменные многомерным пространством, в котором можно отложить любое наблюдение. Например, если у вас есть две независимых переменных с равными коэффициентами регрессии, то можно было бы построить диаграмму рассеяния этих двух переменных и поместить каждое наблюдение на этот график. Потом можно было отметить на этом графике среднее значение и вычислить расстояния от каждого наблюдения до этого среднего (так называемый центр тяжести) в двумерном пространстве. В этом и заключается основная идея вычисления расстояния Махаланобиса . Теперь посмотрим на гистограмму переменной изменения населения с 1960 года.

Рис. 4. Гистограмма распределения расстояний Махаланобиса.

Из графика следует, что есть один выброс на расстояниях Махаланобиса.

Рис. 5. Наблюдаемые, предсказанные и значения остатков.

Обратите внимание на то, что округ Shelby (в первой строке) выделяется на фоне остальных округов. Если посмотреть на исходные данные, то вы обнаружите, что в действительности округ Shelby имеет самое большое число людей, занятых в сельском хозяйстве (переменная N_Empld). Возможно, было бы разумным выразить в процентах, а не в абсолютных числах, и в этом случае расстояние Махаланобиса округа Shelby, вероятно, не будет таким большим на фоне других округов. Очевидно, что округ Shelby является выбросом .

Удаленные остатки

Другой очень важной статистикой, которая позволяет оценить серьезность проблемы выбросов, являются удаленные остатки . Это стандартизованные остатки для соответствующих наблюдений, которые получаются при удалении этого наблюдения из анализа. Помните, что процедура множественной регрессии подгоняет поверхность регрессии таким образом, чтобы показать взаимосвязь между зависимой и переменной и предиктором. Если одно наблюдение является выбросом (как округ Shelby), то существует тенденция к "оттягиванию" поверхности регрессии к этому выбросу. В результате, если соответствующее наблюдение удалить, будет получена другая поверхность (и Бета коэффициенты). Следовательно, если удаленные остатки очень сильно отличаются от стандартизованных остатков, то у вас будет повод считать, что регрессионный анализа серьезно искажен соответствующим наблюдением. В этом примере удаленные остатки для округа Shelby показывают, что это выброс, который серьезно искажает анализ. На диаграмме рассеяния явно виден выброс.

Рис. 6. Исходные остатки и Удаленные остатки переменной, означающей процент семей, проживающих ниже прожиточного минимума.

Большинство из них имеет более или менее ясные интерпретации, тем не менее обратимся к нормальным вероятностным графикам.

Как уже было упомянуто, множественная регрессия предполагает, что существует линейная взаимосвязь между переменными в уравнении и нормальное распределение остатков. Если эти предположения нарушены, то вывод может оказаться неточным. Нормальный вероятностный график остатков укажет вам, имеются ли серьезные нарушения этих предположений или нет.

Рис. 7. Нормальный вероятностный график; Исходные остатки.

Этот график был построен следующим образом. Вначале стандартизованные остатки ранжируюся по порядку. По этим рангам можно вычислить z значения (т.е. стандартные значения нормального распределения) на основе предположения, что данные подчиняются нормальному распределению. Эти z значения откладываются по оси y на графике.

Если наблюдаемые остатки (откладываемые по оси x) нормально распределены, то все значения легли бы на прямую линию на графике. На нашем графике все точки лежат очень близко относительно кривой. Если остатки не являются нормально распределенными, то они отклоняются от этой линии. Выбросы также становятся заметными на этом графике.

Если имеется потеря согласия и кажется, что данные образуют явную кривую (например, в форме буквы S) относительно линии, то зависимую переменную можно преобразовать некоторым способом (например, логарифмическое преобразование для "уменьшения" хвоста распределения и т.д.). Обсуждение этого метода находится за пределами этого примера (Neter, Wasserman, и Kutner, 1985, pp. 134-141, представлено обсуждение преобразований, убирающих ненормальность и нелинейность данных). Однако исследователи очень часто просто проводят анализ напрямую без проверки соответствующих предположений, что ведет к ошибочным выводам.

Во время учебы студенты очень часто сталкиваются с разнообразными уравнениями. Одно из них - уравнение регрессии - рассмотрено в данной статье. Такой тип уравнения применяется специально для описания характеристики связи между математическими параметрами. Данный вид равенств используют в статистике и эконометрике.

Определение понятия регрессии

В математике под регрессией подразумевается некая величина, описывающая зависимость среднего значения совокупности данных от значений другой величины. Уравнение регрессии показывает в качестве функции определенного признака среднее значение другого признака. Функция регрессии имеет вид простого уравнения у = х, в котором у выступает зависимой переменной, а х - независимой (признак-фактор). Фактически регрессия выражаться как у = f (x).

Какие бывают типы связей между переменными

В общем, выделяется два противоположных типа взаимосвязи: корреляционная и регрессионная.

Первая характеризуется равноправностью условных переменных. В данном случае достоверно не известно, какая переменная зависит от другой.

Если же между переменными не наблюдается равноправности и в условиях сказано, какая переменная объясняющая, а какая - зависимая, то можно говорить о наличии связи второго типа. Для того чтобы построить уравнение линейной регрессии, необходимо будет выяснить, какой тип связи наблюдается.

Виды регрессий

На сегодняшний день выделяют 7 разнообразных видов регрессии: гиперболическая, линейная, множественная, нелинейная, парная, обратная, логарифмически линейная.

Гиперболическая, линейная и логарифмическая

Уравнение линейной регрессии применяют в статистике для четкого объяснения параметров уравнения. Оно выглядит как у = с+т*х+Е. Гиперболическое уравнение имеет вид правильной гиперболы у = с + т / х + Е. Логарифмически линейное уравнение выражает взаимосвязь с помощью логарифмической функции: In у = In с + т* In x + In E.

Множественная и нелинейная

Два более сложных вида регрессии - это множественная и нелинейная. Уравнение множественной регрессии выражается функцией у = f(х 1 , х 2 ...х с)+E. В данной ситуации у выступает зависимой переменной, а х - объясняющей. Переменная Е - стохастическая, она включает влияние других факторов в уравнении. Нелинейное уравнение регрессии немного противоречиво. С одной стороны, относительно учтенных показателей оно не линейное, а с другой стороны, в роли оценки показателей оно линейное.

Обратные и парные виды регрессий

Обратная - это такой вид функции, который необходимо преобразовать в линейный вид. В самых традиционных прикладных программах она имеет вид функции у = 1/с + т*х+Е. Парное уравнение регрессии демонстрирует взаимосвязь между данными в качестве функции у = f (x) + Е. Точно так же, как и в других уравнениях, у зависит от х, а Е - стохастический параметр.

Понятие корреляции

Это показатель, демонстрирующий существование взаимосвязи двух явлений или процессов. Сила взаимосвязи выражается в качестве коэффициента корреляции. Его значение колеблется в рамках интервала [-1;+1]. Отрицательный показатель говорит о наличии обратной связи, положительный - о прямой. Если коэффициент принимает значение, равное 0, то взаимосвязи нет. Чем ближе значение к 1 - тем сильнее связь между параметрами, чем ближе к 0 - тем слабее.

Методы

Корреляционные параметрические методы могут оценить тесноту взаимосвязи. Их используют на базе оценки распределения для изучения параметров, подчиняющихся закону нормального распределения.

Параметры уравнения линейной регрессии необходимы для идентификации вида зависимости, функции регрессионного уравнения и оценивания показателей избранной формулы взаимосвязи. В качестве метода идентификации связи используется поле корреляции. Для этого все существующие данные необходимо изобразить графически. В прямоугольной двухмерной системе координат необходимо нанести все известные данные. Так образуется поле корреляции. Значение описывающего фактора отмечаются вдоль оси абсцисс, в то время как значения зависимого - вдоль оси ординат. Если между параметрами есть функциональная зависимость, они выстраиваются в форме линии.

В случае если коэффициент корреляции таких данных будет менее 30 %, можно говорить о практически полном отсутствии связи. Если он находится между 30 % и 70 %, то это говорит о наличии связей средней тесноты. 100 % показатель - свидетельство функциональной связи.

Нелинейное уравнение регрессии так же, как и линейное, необходимо дополнять индексом корреляции (R).

Корреляция для множественной регрессии

Коэффициент детерминации является показателем квадрата множественной корреляции. Он говорит о тесноте взаимосвязи представленного комплекса показателей с исследуемым признаком. Он также может говорить о характере влияния параметров на результат. Уравнение множественной регрессии оценивают с помощью этого показателя.

Для того чтобы вычислить показатель множественной корреляции, необходимо рассчитать его индекс.

Метод наименьших квадратов

Данный метод является способом оценивания факторов регрессии. Его суть заключается в минимизировании суммы отклонений в квадрате, полученных вследствие зависимости фактора от функции.

Парное линейное уравнение регрессии можно оценить с помощью такого метода. Этот тип уравнений используют в случае обнаружения между показателями парной линейной зависимости.

Параметры уравнений

Каждый параметр функции линейной регрессии несет определенный смысл. Парное линейное уравнение регрессии содержит два параметра: с и т. Параметр т демонстрирует среднее изменение конечного показателя функции у, при условии уменьшения (увеличения) переменной х на одну условную единицу. Если переменная х - нулевая, то функция равняется параметру с. Если же переменная х не нулевая, то фактор с не несет в себе экономический смысл. Единственное влияние на функцию оказывает знак перед фактором с. Если там минус, то можно сказать о замедленном изменении результата по сравнению с фактором. Если там плюс, то это свидетельствует об ускоренном изменении результата.

Каждый параметр, изменяющий значение уравнения регрессии, можно выразить через уравнение. Например, фактор с имеет вид с = y - тх.

Сгруппированные данные

Бывают такие условия задачи, в которых вся информация группируется по признаку x, но при этом для определенной группы указываются соответствующие средние значения зависимого показателя. В таком случае средние значения характеризуют, каким образом изменяется показатель, зависящий от х. Таким образом, сгруппированная информация помогает найти уравнение регрессии. Ее используют в качестве анализа взаимосвязей. Однако у такого метода есть свои недостатки. К сожалению, средние показатели достаточно часто подвергаются внешним колебаниям. Данные колебания не являются отображением закономерности взаимосвязи, они всего лишь маскируют ее «шум». Средние показатели демонстрируют закономерности взаимосвязи намного хуже, чем уравнение линейной регрессии. Однако их можно применять в виде базы для поиска уравнения. Перемножая численность отдельной совокупности на соответствующую среднюю можно получить сумму у в пределах группы. Далее необходимо подбить все полученные суммы и найти конечный показатель у. Чуть сложнее производить расчеты с показателем суммы ху. В том случае если интервалы малы, можно условно взять показатель х для всех единиц (в пределах группы) одинаковым. Следует перемножить его с суммой у, чтобы узнать сумму произведений x на у. Далее все суммы подбиваются вместе и получается общая сумма ху.

Множественное парное уравнение регрессии: оценка важности связи

Как рассматривалось ранее, множественная регрессия имеет функцию вида у = f (x 1 ,x 2 ,…,x m)+E. Чаще всего такое уравнение используют для решения проблемы спроса и предложения на товар, процентного дохода по выкупленным акциям, изучения причин и вида функции издержек производства. Ее также активно применяют в самых разнообразным макроэкономических исследованиях и расчетах, а вот на уровне микроэкономики такое уравнение применяют немного реже.

Основной задачей множественной регрессии является построение модели данных, содержащих огромное количество информации, для того чтобы в дальнейшем определить, какое влияние имеет каждый из факторов по отдельности и в их общей совокупности на показатель, который необходимо смоделировать, и его коэффициенты. Уравнение регрессии может принимать самые разнообразные значения. При этом для оценки взаимосвязи обычно используется два типа функций: линейная и нелинейная.

Линейная функция изображается в форме такой взаимосвязи: у = а 0 + a 1 х 1 + а 2 х 2 ,+ ... + a m x m . При этом а2, a m , считаются коэффициентами «чистой» регрессии. Они необходимы для характеристики среднего изменения параметра у с изменением (уменьшением или увеличением) каждого соответствующего параметра х на одну единицу, с условием стабильного значения других показателей.

Нелинейные уравнения имеют, к примеру, вид степенной функции у=ах 1 b1 х 2 b2 ...x m bm . В данном случае показатели b 1 , b 2 ..... b m - называются коэффициентами эластичности, они демонстрируют, каким образом изменится результат (на сколько %) при увеличении (уменьшении) соответствующего показателя х на 1 % и при стабильном показателе остальных факторов.

Какие факторы необходимо учитывать при построении множественной регрессии

Для того чтобы правильно построить множественную регрессию, необходимо выяснить, на какие именно факторы следует обратить особое внимание.

Необходимо иметь определенное понимание природы взаимосвязей между экономическими факторами и моделируемым. Факторы, которые необходимо будет включать, обязаны отвечать следующим признакам:

Должны быть подвластны количественному измерению. Для того чтобы использовать фактор, описывающий качество предмета, в любом случае следует придать ему количественную форму.
Не должна присутствовать интеркорреляция факторов, или функциональная взаимосвязь. Такие действия чаще всего приводят к необратимым последствиям - система обыкновенных уравнений становится не обусловленной, а это влечет за собой ее ненадежность и нечеткость оценок.
В случае существования огромного показателя корреляции не существует способа для выяснения изолированного влияния факторов на окончательный результат показателя, следовательно, коэффициенты становятся неинтерпретируемыми.

Методы построения

Существует огромное количество методов и способов, объясняющих, каким образом можно выбрать факторы для уравнения. Однако все эти методы строятся на отборе коэффициентов с помощью показателя корреляции. Среди них выделяют:

Способ исключения.
Способ включения.
Пошаговый анализ регрессии.

Первый метод подразумевает отсев всех коэффициентов из совокупного набора. Второй метод включает введение множества дополнительных факторов. Ну а третий - отсев факторов, которые были ранее применены для уравнения. Каждый из этих методов имеет право на существование. У них есть свои плюсы и минусы, но они все по-своему могут решить вопрос отсева ненужных показателей. Как правило, результаты, полученные каждым отдельным методом, достаточно близки.

Методы многомерного анализа

Такие способы определения факторов базируются на рассмотрении отдельных сочетаний взаимосвязанных признаков. Они включают в себя дискриминантный анализ, распознание обликов, способ главных компонент и анализ кластеров. Кроме того, существует также факторный анализ, однако он появился вследствие развития способа компонент. Все они применяются в определенных обстоятельствах, при наличии определенных условий и факторов.

Экономические явления, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает задача исследования зависимости переменной у от нескольких объясняющих переменных (х 1, х 2 ,…, х k) которая может быть решена с помощью множественного корреляционно-регрессионного анализа.

При исследовании зависимости методами множественной регрессии задача формируется так же, как и при использовании парной регрессии, т.е. требуется определить аналитическое выражение формы связи между результативным признаком у и факторными признаками х, х 2 , ..., х k , найти функцию , где k – число факторных признаков

Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и целом ряде других вопросов эконометрики. В настоящее время множественная регрессия – один из наиболее распространенных методов в эконометрике. Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

Из-за особенностей метода наименьших квадратов во множественной регрессии, как и в парной, применяются только линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейному виду путем преобразования переменных. Чаще всего используется линейное уравнение, которое можно записать следующим образом:

a 0 , a 1, …, a k – параметры модели (коэффициенты регрессии);

ε j – случайная величина (величина остатка).

Коэффициент регрессии а j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак у, если переменную х j увеличить на единицу измерения при фиксированном (постоянном) значении других факторов, входящих в уравнение регрессии. Параметры при x называются коэффициентами «чистой» регрессии .

Пример.

Предположим, что зависимость расходов на продукты питания по совокупности семей характеризуется следующим уравнением:

y – расходы семьи за месяц на продукты питания, тыс. руб.;

x 1 – месячный доход на одного члена семьи, тыс. руб.;

x 2 – размер семьи, человек.

Анализ данного уравнения позволяет сделать выводы – с ростом дохода на одного члена семьи на 1 тыс. руб. расходы на питание возрастут в среднем на 350 руб. при том же среднем размере семьи. Иными словами, 35% дополнительных семейных расходов тратится на питание. Увеличение размера семьи при тех же ее доходах предполагает дополнительный рост расходов на питание на 730 руб. Первый параметр не подлежит экономической интерпретации.

Оценивание достоверности каждого из параметров модели осуществляется при помощи t-критерия Стьюдента. Для любого из параметров модели а j значение t-критерия рассчитывается по формуле , где

S ε – стандартное (среднее квадратическое) отклонение уравнения регрессии)

определяется по формуле

Коэффициент регрессии а j считается достаточно надежным, если расчетное значение t- критерия с (n - k - 1 ) степенями свободы превышает табличное, т.е. t расч > t а jn - k -1 . Если надежность коэффициента регрессии не подтверждается, то следует; вывод о несущественности в модели факторного j признака и необходимости его устранения из модели или замены на другой факторный признак.

Важную роль при оценке влияния факторов играют коэффициенты регрессионной модели. Однако непосредственно с их помощью нельзя сопоставлять факторные признаки по степени их влияния на зависимую переменную из-за различия единиц измерения и разной степени колеблемости. Для устранения таких различий применяются частные коэффициенты эластичности Э j и бета-коэффициенты β j .

Формула для расчета коэффициента эластичности

где

a j – коэффициент регрессии фактора j ,

Среднее значение результативного признака

Среднее значение признака j

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная у при изменении фактора j на 1 %.

Формула определения бета - коэффициента.

, где

S xj – среднее квадратическое отклонение фактора j ;

S y - среднее квадратическое отклонение фактора y.

β - коэффициент показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения S y изменится зависимая переменная у с изменением соответствующей независимой переменной х j на величину своего среднего квадратического отклонения при фиксированном значении остальных независимых переменных.

Долю влияния определенного фактора в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта-коэффициентов Δ j .

Указанные коэффициенты позволяют проранжировать факторы по степени влияния факторов на зависимую переменную.

Формула определения дельта - коэффициента.

r yj – коэффициент парной корреляции между фактором j и зависимой переменной;

R 2 – множественный коэффициент детерминации.

Коэффициент множественной детерминации используют для оценки качества множественных регрессионных моделей.

Формула определения коэффициента множественной детерминации.

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием факторных признаков, т.е. определяет, какая доля вариации признака у учтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов, включенных в модель. Чем ближе R 2 к единице, тем выше качество модели

При добавлении независимых переменных значение R 2 увеличивается, поэтому коэффициент R 2 должен быть скорректирован с учетом числа независимых переменных по формуле

Для проверки значимости модели регрессии используется F-критерий Фишера. Он определяется по формуле

Если расчетное значение критерия с γ 1 , = k и γ 2 = (n - k- 1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

В качестве меры точностимодели применяют стандартную ошибку, которая представляет собой отношение суммы квадратов уровней остаточной компоненты к величине (n - k -1):

Классический подход к оцениванию параметров линейной модели основан на методе наименьших квадратов (МНК) . Система нормальных уравнений имеет вид:

Решение системы может быть осуществлено по одному из известных способов: Метод Гаусса, метод Крамера и т.д.

Пример15.

По четырем предприятиям региона (таблица 41) изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%). Требуется написать уравнение множественной регрессии.

Таблица 41 – Зависимость выработки продукции на одного работника

1. Модель с двумя независимыми переменными.

2. Оценка коэффициентов модели множественной регрессии методом наименьших квадратов.

3. Парная и частная корреляция в модели множественной регрессии.

4. Оценка качества модели множественной регрессии.

5. Мультиколлинеарность и методы ее устранения.

6. Интерпретация коэффициентов модели множественной регрессии.

Множественная регрессия - это уравнение статистической связи с несколькими независимыми переменными:

y = f (x 1 , x 2 , x p)

где y - зависимая переменная (результативный признак);

x 1 , x 2 , x p - независимые переменные (факторы).

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели. Он включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии.

Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям:

1. Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность.

2. Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи.

Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации , который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии факторов. Влияние других, не учтенных в модели факторов, оценивается как с соответствующей остаточной дисперсией .

Отбор факторов обычно осуществляется в две стадии: на первой подбираются факторы исходя из сущности проблемы; на второй - на основе матрицы показателей корреляции определяют статистики для параметров регрессии.

Коэффициенты интеркорреляции (т.е. корреляции между объясняющими переменными) позволяют исключать из модели дублирующие факторы. Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если . Если факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии.

Пусть, например, при изучении зависимости матрица парных коэффициентов корреляции оказалась следующей:


	0,8	0,7	0,6
0,8		0,8	0,5
0,7	0,8		0,2
0,6	0,5	0,2

Очевидно, что факторы и дублируют друг друга. В анализ целесообразно включить фактор , а не , хотя корреляция с результатом слабее, чем корреляция фактора с , но зато значительно слабее межфакторная корреляция . Поэтому в данном случае в уравнение множественной регрессии включаются факторы , .

По величине парных коэффициентов корреляции обнаруживается лишь явная коллинеарность факторов. Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью, т.е. имеет место совокупное воздействие факторов друг на друга . Наличие мультиколлинеарности факторов может означать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полностью независимой и нельзя оценить воздействие каждого фактора в отдельности.

Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежелательно в силу следующих последствий:

1. Затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии как характеристик действия факторов в «чистом» виде, ибо факторы коррелированы; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл.

2. Оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюдений (не только по величине, но и по знаку), что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования.

Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.

Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей, поскольку все недиагональные элементы были бы равны нулю. Так, для уравнения, включающего три объясняющих переменных

матрица коэффициентов корреляции между факторами имела бы определитель, равный единице:

Если же, наоборот, между факторами существует полная линейная зависимость и все коэффициенты корреляции равны единице, то определитель такой матрицы равен нулю:

Чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И, наоборот, чем ближе к единице определитель матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.

Самый простой путь устранения мультиколлинеарности состоит в исключении из модели одного или нескольких факторов. Другой подход связан с преобразованием факторов, при котором уменьшается корреляция между ними.

Одним из путей учета внутренней корреляции факторов является переход к совмещенным уравнениям регрессии, т.е. к уравнениям, которые отражают не только влияние факторов, но и их взаимодействие. Так, если , то возможно построение следующего совмещенного уравнения:

Рассматриваемое уравнение включает взаимодействие первого порядка (взаимодействие двух факторов). Возможно включение в модель и взаимодействий более высокого порядка, если будет доказана их статистическая значимость по -критерию Фишера, но, как правило, взаимодействия третьего и более высоких порядков оказываются статистически незначимыми.

В зависимости от того, какая методика построения уравнения регрессии принята, меняется алгоритм ее решения на ЭВМ.

Наиболее широкое применение получили следующие методы построения уравнения множественной регрессии:

1. Метод исключения - отсев факторов из полного его набора.

2. Метод включения - дополнительное введение фактора.

3. Шаговый регрессионный анализ - исключение ранее введенного фактора.

Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

Назначение сервиса . С помощью онлайн-калькулятора можно найти следующие показатели:

уравнение множественной регрессии, матрица парных коэффициентов корреляции, средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии;
множественный коэффициент детерминации, доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения результативного признака;

Кроме этого проводится проверка на автокорреляцию остатков и гетероскедастичность .

Инструкция . Укажите количество данных (количество строк), количество переменных x нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример нахождения уравнения множественной регрессии и корреляции). Если данных много, можно вставить их из MS Excel . Для этого укажите количество переменных x нажмите Вставить из Excel ().

При вычислении параметров уравнения множественной регрессии используется матричный метод . Для множественной регрессии с двумя переменными (m = 2), можно воспользоваться методом решения системы уравнений .

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели, который в свою очередь включает 2 круга вопросов: отбор факторов и выбор уравнения регрессии .

Отбор факторов обычно осуществляется в два этапа:

теоретический анализ взаимосвязи результата и круга факторов, которые оказывают на него существенное влияние;
количественная оценка взаимосвязи факторов с результатом. При линейной форме связи между признаками данный этап сводится к анализу корреляционной матрицы (матрицы парных линейных коэффициентов корреляции). Научно обоснованное решение задач подобного вида также осуществляется с помощью дисперсионного анализа - однофакторного , если проверяется существенность влияния того или иного фактора на рассматриваемый признак, или многофакторного в случае изучения влияния на него комбинации факторов.

Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям:

Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность.
Каждый фактор должен быть достаточно тесно связан с результатом (т.е. коэффициент парной линейной корреляции между фактором и результатом должен быть существенным).
Факторы не должны быть сильно коррелированы друг с другом, тем более находиться в строгой функциональной связи (т.е. они не должны быть интеркоррелированы). Разновидностью интеркоррелированности факторов является мультиколлинеарность - тесная линейная связь между факторами.

Пример . Постройте регрессионную модель с 2-мя объясняющими переменными (множественная регрессия). Определите теоретическое уравнение множественной регрессии. Оцените адекватность построенной модели.
Решение .
К исходной матрице X добавим единичный столбец, получив новую матрицу X

Находим обратную матрицу (X T X) -1

13.99	0.64	-1.3
0.64	0.1	-0.0988
-1.3	-0.0988	0.14

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен

(X T X) -1 X T Y = y(x) =

13,99	0,64	-1,3
0,64	0,1	-0,0988
-1,3	-0,0988	0,14

563

1032,5

34,66

1,97

-2,45

Получили оценку уравнения регрессии: Y = 34.66 + 1.97X 1 -2.45X 2
Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности. Для ее проверки используют