Скорость векторная величина или скалярная. Скалярные и векторные величины
Вектор
− чисто математическое понятие, которое лишь применяется в физике или других прикладных науках и которое позволяет упростить решение некоторых сложных задач.
Вектор
− направленный отрезок прямой.
В курсе элементарной физики приходится оперировать двумя категориями величин − скалярными и векторными
.
Скалярными
величинами (скалярами) называют величины, характеризующиеся числовым значением и знаком. Скалярами являются длина − l
, масса − m
, путь − s
, время − t
, температура − T
, электрический заряд − q
, энергия − W
, координаты и т.д.
К скалярным величинам применяются все алгебраические действия (сложение, вычитание, умножение и т.д.).
Пример 1
.
Определить полный заряд системы, состоящий из зарядов, входящих в нее, если q 1 = 2 нКл, q 2 = −7 нКл, q 3 = 3 нКл.
Полный заряд системы
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) нКл = −2 нКл = −2 × 10 −9 Кл.
Пример 2
.
Для квадратного уравнения вида
ax 2 + bx + с = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √{b 2 − 4ac}).
Векторными
величинами (векторами) называют величины, для определения которых необходимо указать кроме численного значения так же и направление. Векторы − скорость v
, сила F
, импульс p
, напряженность электрического поля E
, магнитная индукция B
и др.
Численное значение вектора (модуль) обозначают буквой без символа вектора или заключают вектор между вертикальными черточками r = |r|
.
Графически вектор изображают стрелкой (рис. 1),
Длина которой в заданном масштабе равна его модулю, а направление совпадает с направлением вектора.
Два вектора равны, если совпадают их модули и направления.
Векторные величины складываются геометрически (по правилу векторной алгебры).
Нахождение векторной суммы по данным составляющим векторам называется сложением векторов.
Сложение двух векторов производят по правилу параллелограмма или треугольника. Суммарный вектор
с = a + b
равен диагонали параллелограмма, построенного на векторах a
и b
. Модуль его
с = √{a 2 + b 2 − 2abcosα} (рис. 2).
При α = 90°, с = √{a 2 + b 2 } − теорема Пифагора.
Тот же вектор c можно получить по правилу треугольника, если из конца вектора a
отложить вектор b
. Замыкающий вектор c (соединяющий начало вектора a
и конец вектора b
) является векторной суммой слагаемых (составляющих векторов a
и b
).
Результирующий вектор находят как замыкающую той ломанной линии, звеньями которой являются составляющие векторы (рис. 3).
Пример 3
.
Сложить две силы F 1 = 3 Н и F 2 = 4 Н, векторы F 1
и F 2
составляют с горизонтом углы α 1 = 10° и α 2 = 40°, соответственно
F = F 1 + F 2
(рис. 4).
Результатом сложения этих двух сил является сила, называемая равнодействующей. Вектор F
направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах F 1
и F 2
, как сторонах, и по модулю равен ее длине.
Модуль вектора F
находим по теореме косинусов
F = √{F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)},
F = √{3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)} ≈ 6,8 H.
Если
(α 2 − α 1) = 90°, то F = √{F 1 2 + F 2 2 }.
Угол, который вектор F
составляет с осью Ox, находим по формуле
α = arctg((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctg((3.0,17 + 4.0,64)/(3.0,98 + 4.0,77)) = arctg0,51, α ≈ 0,47 рад.
Проекция вектора a на ось Ox (Oy) − скалярная величина, зависящая от угла α между направлением вектора a
и оси Ox (Oy). (рис. 5)
Проекции вектора a
на оси Ox и Oy прямоугольной системы координат. (рис. 6)
Чтобы не допустить ошибок при определении знака проекции вектора на ось, полезно запомнить следующее правило: если направление составляющей совпадает с направлением оси, то проекция вектора на эту ось положительна, если же направление составляющей противоположно направлению оси, то проекция вектора отрицательна. (рис. 7)
Вычитание векторов − это сложение, при котором к первому вектору прибавляется вектор, численно равный второму, противоположно направленный
a − b = a + (−b) = d
(рис. 8).
Пусть надо из вектора a
вычесть вектор b
, их разность − d
. Чтобы найти разность двух векторов, надо к вектору a
прибавить вектор (−b
), то есть вектором d = a − b
будет вектор, направленный от начала вектора a
к концу вектора (−b
) (рис. 9).
В параллелограмме, построенном на векторах a
и b
как сторонах, одна диагональ c
имеет смысл суммы, а другая d
− разности векторов a
и b
(рис. 9).
Произведение вектора a
на скаляр k равно вектору b
= ka
, модуль которого в k раз больше модуля вектора a
, а направление совпадает с направлением a
при положительном k и противоположно ему при отрицательном k.
Пример 4
.
Определить импульс тела массой 2 кг, движущегося со скоростью 5 м/с. (рис. 10)
Импульс тела p
= mv
; p = 2 кг.м/с = 10 кг.м/с и направлен в сторону скорости v
.
Пример 5
.
Заряд q = −7,5 нКл помещен в электрическое поле с напряженностью E = 400 В/м. Найти модуль и направление силы, действующей на заряд.
Сила равна F
= qE
. Так как заряд отрицательный, то вектор силы направлен в сторону, противоположную вектору E
. (рис. 11)
Деление
вектора a
на скаляр k равнозначно умножению a
на 1/k.
Скалярным произведением
векторов a
и b
называют скаляр «c», равный произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (рис. 12)
Пример 6
.
Найти работу постоянной силы F = 20 Н, если перемещение S = 7,5 м, а угол α между силой и перемещением α = 120°.
Работа силы равна по определению скалярному произведению силы и перемещения
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 м × cos120° = −150 × 1/2 = −75 Дж.
Векторным произведением
векторов a
и b
называют вектор c
, численно равный произведению модулей векторов a и b, умноженных на синус угла между ними:
с = a × b = ,
с = ab × sinα.
Вектор c
перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы a
и b
, причем его направление связано с направлением векторов a
и b
правилом правого винта (рис. 13).
Пример 7
.
Определить силу, действующую на проводник длиной 0,2 м, помещенный в магнитном поле, индукция которого 5 Тл, если сила тока в проводнике 10 А и он образует угол α = 30° с направлением поля.
Сила Ампера
dF = I = Idl × B или F = I(l)∫{dl × B},
F = IlBsinα = 5 Тл × 10 А × 0,2 м × 1/2 = 5 Н.
Рассмотрите решение задач
.
1. Как направлены два вектора, модули которых одинаковы и равны a, если модуль их суммы равен: а) 0; б) 2а; в) а; г) a√{2}; д) a√{3}?
Решение
.
а) Два вектора направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Сумма этих векторов равна нулю.
б) Два вектора направлены вдоль одной прямой в одном направлении. Сумма этих векторов равна 2a.
в) Два вектора направлены под углом 120° друг к другу. Сумма векторов равна a. Результирующий вектор находим по теореме косинусов:
a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2 ,
cosα = −1/2 и α = 120°.
г) Два вектора направлены под углом 90° друг к другу. Модуль суммы равен
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2 ,
cosα = 0 и α = 90°.
д) Два вектора направлены под углом 60° друг к другу. Модуль суммы равен
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 и α = 60°.
Ответ
: Угол α между векторами равен: а) 180°; б) 0; в) 120°; г) 90°; д) 60°.
2. Если a = a 1 + a 2 ориентации векторов, то, что можно сказать о взаимной ориентации векторов a 1 и a 2 , если: а) a = a 1 + a 2 ; б) a 2 = a 1 2 + a 2 2 ; в) a 1 + a 2 = a 1 − a 2 ?
Решение
.
а) Если сумма векторов находится как сумма модулей этих векторов, то вектора направлены вдоль одной прямой, параллельно друг другу a 1 ||a 2
.
б) Если вектора направлены под углом друг к другу, то их сумма находится по теореме косинусов для параллелограмма
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 и α = 90°.
вектора перпендикулярны друг другу a 1 ⊥ a 2
.
в) Условие a 1 + a 2 = a 1 − a 2
может выполниться, в случае если a 2
− нулевой вектор, тогда a 1 + a 2 = a 1 .
Ответы
. а) a 1 ||a 2
; б) a 1 ⊥ a 2
; в) a 2
− нулевой вектор.
3. Две силы по 1,42 H каждая приложены к одной точке тела под углом 60° друг к другу. Под каким углом надо приложить к той же точке тела две силы по 1,75 H каждая, чтобы действие их уравновешивало действие первых двух сил?
Решение.
По условию задачи две силы по 1,75 Н уравновешивают две силы по 1,42 Н. Это возможно, если равны модули результирующих векторов пар сил. Результирующий вектор определим по теореме косинусов для параллелограмма. Для первой пары сил:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
для второй пары сил, соответственно
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Приравняв левые части уравнений
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Найдем искомый угол β между векторами
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
После вычислений,
cosβ = (2.1,422 + 2.1,422.cos60° − 2.1,752)/(2.1,752) = −0,0124,
β ≈ 90,7°.
Второй способ решения
.
Рассмотрим проекцию векторов на ось координат ОХ (рис.).
Воспользовавшись соотношением между сторонами в прямоугольном треугольнике, получим
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2)
,
откуда
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) и β ≈ 90,7°.
4. Вектор a = 3i − 4j
. Какова должна быть скалярная величина c, чтобы |ca
| = 7,5?
Решение
.
ca
= c(3i − 4j
) = 7,5
Модуль вектора a
будет равен
a 2 = 3 2 + 4 2 , и a = ±5,
тогда из
c.(±5) = 7,5,
найдем, что
c = ±1,5.
5. Векторы a 1 и a 2 выходят из начала координат и имеют декартовы координаты концов {6, 0} и {1, 4}, соответственно. Найдите вектор a 3 такой, что: а) a 1 + a 2 + a 3 = 0; б) a 1 − a 2 + a 3 = 0.
Решение
.
Изобразим векторы в декартовой системе координат (рис.)
а) Результирующий вектор вдоль оси Ox равен
a x = 6 + 1 = 7.
Результирующий вектор вдоль оси Oy равен
a y = 4 + 0 = 4.
Чтобы сумма векторов была равна нулю, необходимо, чтобы выполнялось условие
a 1
+ a 2
= −a 3
.
Вектор a 3
по модулю будет равен суммарному вектору a 1 + a 2
, но направлен в противоположную ему сторону. Координата конца вектора a 3
равна {−7, −4}, а модуль
a 3 = √{7 2 + 4 2 } = 8,1.
Б) Результирующий вектор вдоль оси Ox равен
a x = 6 − 1 = 5,
а результирующий вектор вдоль оси Oy
a y = 4 − 0 = 4.
При выполнении условия
a 1
− a 2
= −a 3
,
вектор a 3
будет иметь координаты конца вектора a x = –5 и a y = −4, а модуль его равен
a 3 = √{5 2 + 4 2 } = 6,4.
6. Посыльный проходит 30 м на север, 25 м на восток, 12 м на юг, а затем в здании поднимается на лифте на высоту 36 м. Чему равны пройденный им путь L и перемещение S?
Решение
.
Изобразим ситуацию, описанную в задаче на плоскости в произвольном масштабе (рис.).
Конец вектора OA
имеет координаты 25 м на восток, 18 м на север и 36 вверх (25; 18; 36). Путь, пройденный человеком равен
L = 30 м + 25 м + 12 м +36 м = 103 м.
Модуль вектора перемещения найдем по формуле
S = √{(x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 },
где x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √{25 2 + 18 2 + 36 2 } = 47,4 (м).
Ответ
: L = 103 м, S = 47,4 м.
7. Угол α между двумя векторами a и b равен 60°. Определите длину вектора с = a + b и угол β между векторами a и c . Величины векторов равны a = 3,0 и b = 2,0.
Решение
.
Длину вектора, равного сумме векторов a
и b
определим воспользовавшись теоремой косинусов для параллелограмма (рис.).
с = √{a 2 + b 2 + 2abcosα}.
После подстановки
с = √{3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°} = 4,4.
Для определения угла β воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
При этом следует знать, что
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
Решая простое тригонометрическое уравнение, приходим к выражению
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
следовательно,
β = arctg(bsinα/(a + bcosα)),
β = arctg(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Сделаем проверку, воспользовавшись теоремой косинусов для треугольника:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
откуда
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
и
β = arccos((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = arccos((3 2 + 4,4 2 − 2 2)/(2.3.4,4)) = 23°.
Ответ
: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.
Решите задачи
.
8. Для векторов a
и b
, определенных в примере 7, найдите длину вектора d = a − b
угол γ
между a
и d
.
9. Найдите проекцию вектора a = 4,0i + 7,0j на прямую, направление которой составляет угол α = 30° с осью Ox. Вектор a и прямая лежат в плоскости xOy.
10. Вектор a составляет угол α = 30° с прямой АВ, a = 3,0. Под каким углом β к прямой АВ нужно направить вектор b (b = √{3}), чтобы вектор с = a + b был параллелен АВ? Найдите длину вектора c .
11. Заданы три вектора: a = 3i + 2j − k ; b = 2i − j + k ; с = i + 3j . Найдите а) a + b ; б) a + c ; в) (a, b) ; г) (a, c)b − (a, b)c .
12. Угол между векторами a и b равен α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Найдите длины векторов с = (a, b)a + b и d = 2b − a/2 .
13. Докажите, что векторы a и b перпендикулярны, если a = {2, 1, −5} и b = {5, −5, 1}.
14. Найдите угол α между векторами a и b , если a = {1, 2, 3}, b = {3, 2, 1}.
15. Вектор a
составляет с осью Ox угол α = 30°, проекция этого вектора на ось Oy равна a y = 2,0. Вектор b
перпендикулярен вектору a
и b = 3,0 (см. рис.).
Вектор с = a + b
. Найдите: a) проекции вектора b
на оси Ox и Oy; б) величину c и угол β между вектором c
и осью Ox; в) (a, b); г) (a, c).
Ответы
:
9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
10. β = 300°; c = 3,5.
11. а) 5i + j; б) i + 3j − 2k; в) 15i − 18j + 9 k.
12. c = 2,6; d = 1,7.
14. α = 44,4°.
15. а) b x = −1,5; b y = 2,6; б) с = 5; β ≈ 67°; в) 0; г) 16,0.
Изучая физику, Вы имеете большие возможности продолжить свое образование в техническом ВУЗе. Для этого потребуется параллельное углубление знаний по математике, химии, языку, реже другие предметы. Победитель республиканской олимпиады, Савич Егор, заканчивает один из факультетов МФТИ, на котором, большие требования предъявляются к знаниям по химии. Если требуется помощь в ГИА по химии , то обращайтесь к профессионалам, Вам точно окажут квалифицированную и своевременную помощь.
Нас окружает много различных материальных предметов. Материальных, потому что их возможно потрогать, понюхать, увидеть, услышать и еще много чего можно сделать. То, какие эти предметы, что с ними происходит, или будет происходить, если что-нибудь сделать: кинуть, разогнуть, засунуть в печь. То, почему с ними происходит что-либо и как именно происходит? Все это изучает физика . Поиграйте в игру: загадайте предмет в комнате, опишите его несколькими словами, друг должен угадать что это. Указываю характеристики задуманного предмета. Прилагательные: белый, большой, тяжелый, холодный. Догадались? Это холодильник. Названные характеристики - это не научные измерения вашего холодильника. Измерять у холодильника можно разное. Если длину, то он большой. Если цвет, то он белый. Если температуру, то холодный. А если его массу, то выйдет, что он тяжелый. Представляем, что один холодильник можно исследовать с разных сторон. Масса, длина, температура - это и есть физическая величина.
Но это лишь та небольшая характеристика холодильника, которая приходит на ум мгновенно. Перед покупкой нового холодильника можно ознакомиться еще с рядом физических величин, которые позволяют судить о том, какой он, лучше или хуже, и почему он стоит дороже. Представь масштабы того, на сколько все окружающее нас разнообразно. И на сколько разнообразны характеристики.
Обозначение физической величины
Все физические величины принято обозначать буквами, чаще греческого алфавита. НО! Одна и та же физическая величина может иметь несколько буквенных обозначений (в разной литературе).
И, наоборот, одной и той же буквой могут обозначаться разные физические величины.
Несмотря на то, что с такой буквой вы могли не сталкиваться, смысл физической величины, участие ее в формулах остается прежним.
Векторные и скалярные величины
В физике существует два вида физических величин: векторные и скалярные. Основное их отличие в том, что векторные физические величины имеют направление . Что значит физическая величина имеет направление? Например, число картофелин в мешке, мы будем называть обыкновенными числами, или скалярами. Еще одним примером такой величины может служить температура. Другие очень важные в физике величины имеют направление, это, например, скорость; мы должны задать не только быстроту перемещения тела, но и путь, по которому оно движется. Импульс и сила тоже имеют направление, как и смещение: когда кто-нибудь делает шаг, можно сказать не только, как далеко он шагнул, но и куда он шагает, то есть определить направление его движения. Векторные величины лучше запомнить.
Почему над буквами рисуют стрелку?
Рисуют стрелку только над буквами векторных физических величин. Согласно тому, как в математике обозначают вектор ! Действия сложения и вычитания над этими физическими величинами выполняются согласно математическим правилам действий с векторами . Выражение "модуль скорости" или "абсолютное значение" означает именно "модуль вектора скорости", то есть численное значение скорости без учета направления - знака "плюс" или "минус".
Обозначение векторных величин
Главное запомнить
1) Что такое векторная величина;
2) Чем скалярная величина отличается от векторной;
3) Векторные физические величины;
4) Обозначение векторной величины
(тензорам ранга 0), с другой - тензорным величинам (строго говоря - тензорам ранга 2 и более). Также может противопоставляться тем или иным объектам совершенно другой математической природы.
В большинстве случаев термин вектор употребляется в физике для обозначения вектора в так называемом «физическом пространстве», то есть в обычном трёхмерном пространстве классической физики или в четырёхмерном пространстве-времени в современной физике (в последнем случае понятие вектора и векторной величины совпадают с понятием 4-вектора и 4-векторной величины).
Употребление словосочетания «векторная величина» практически исчерпывается этим. Что же касается употребления термина «вектор», то оно, несмотря на тяготение по умолчанию к этому же полю применимости, в большом количестве случаев всё же весьма далеко выходит за такие рамки. Об этом см. ниже.
Употребление терминов вектор и векторная величина в физике
В целом в физике понятие вектора практически полностью совпадает с таковым в математике. Однако есть терминологическая специфика, связанная с тем, что в современной математике это понятие несколько излишне абстрактно (по отношению к нуждам физики).
В математике, произнося «вектор» понимают скорее вектор вообще, то есть любой вектор любого сколько угодно абстрактного линейного пространства любой размерности и природы, что, если не прилагать специальных усилий, может приводить даже к путанице (не столько, конечно, по существу, сколько по удобству словоупотребления). Если же необходимо конкретизировать, в математическом стиле приходится или говорить довольно длинно («вектор такого-то и такого-то пространства»), или иметь в виду подразумеваемое явно описанным контекстом.
В физике же практически всегда речь идёт не о математических объектах (обладающих теми или иными формальными свойствами) вообще, а об определённой их конкретной («физической») привязке. Учитывая эти соображения конкретности с соображениями краткости и удобства, можно понять, что терминологическая практика в физике заметно отличается от математической. Однако она не входит с последней в явное противоречие. Этого удаётся достичь несколькими простыми «приемами». Прежде всего, к ним относится соглашение об употребление термина по умолчанию (когда контекст особо не оговаривается). Так, в физике, в отличие от математики, под словом вектор без дополнительных уточнений обычно понимается не «какой-то вектор любого линейного пространства вообще», а прежде всего вектор, связанный с «обычным физическим пространством» (трёхмерным пространством классической физики или четырёхмерным пространством-временем физики релятивистской). Для векторов же пространств, не связанных прямо и непосредственно с «физическим пространством» или «пространством-временем», как раз применяют специальные названия (иногда включающие слово «вектор», но с уточнением). Если вектор некоторого пространства, не связанного прямо и непосредственно с «физическим пространством» или «пространством-временем» (и которое трудно сразу как-то определённо охарактеризовать), вводится в теории, он часто специально описывается как «абстрактный вектор».
Всё сказанное ещё в большей степени, чем к термину «вектор», относится к термину «векторная величина». Умолчание в этом случае ещё жёстче подразумевает привязку к «обычному пространству» или пространству-времени, а употребление по отношению к элементам абстрактных векторных пространств скорее практически не встречается, по крайней мере, такое применение видится редчайшим исключением (если вообще не оговоркой).
В физике векторами чаще всего, а векторными величинами - практически всегда - называют векторы двух сходных между собою классов:
Примеры векторных физических величин: скорость , сила , поток тепла.
Генезис векторных величин
Каким образом физические «векторные величины» привязаны к пространству? Прежде всего, бросается в глаза то, что размерность векторных величин (в том обычном смысле употребления этого термина, который разъяснён выше) совпадает с размерностью одного и того же «физического» (и «геометрического») пространства, например, пространство трёхмерно и вектор электрического поля трехмерен. Интуитивно можно заметить также, что любая векторная физическая величина, какую бы туманную связь она не имела с обычной пространственной протяжённостью, тем не менее имеет вполне определённое направление именно в этом обычном пространстве.
Однако оказывается, что можно достичь и гораздо большего, прямо «сведя» весь набор векторных величин физики к простейшим «геометрическим» векторам, вернее даже - к одному вектору - вектору элементарного перемещения, а более правильно было бы сказать - произведя их всех от него.
Эта процедура имеет две различные (хотя по сути детально повторяющие друг друга) реализации для трёхмерного случая классической физики и для четырёхмерной пространственно-временной формулировки, обычной для современной физики.
Классический трёхмерный случай
Будем исходить из обычного трёхмерного «геометрического» пространства, в котором мы живём и можем перемещаться.
В качестве исходного и образцового вектора возьмём вектор бесконечно малого перемещения. Довольно очевидно, что это обычный «геометрический» вектор (как и вектор конечного перемещения).
Заметим теперь сразу, что умножение вектора на скаляр всегда даёт новый вектор. То же можно сказать о сумме и разности векторов. В этой главе мы не будем делать разницы между полярными и аксиальными векторами , поэтому заметим, что и векторное произведение двух векторов даёт новый вектор.
Также новый вектор даёт дифференцирование вектора по скаляру (поскольку такая производная есть предел отношения разности векторов к скаляру). Это можно сказать дальше и о производных всех высших порядков. То же верно по отношению к интегрированию по скалярам (времени, объёму).
Теперь заметим, что, исходя из радиус-вектора r или из элементарного перемещения dr , мы легко понимаем, что векторами являются (поскольку время - скаляр) такие кинематические величины, как
Из скорости и ускорения, умножением на скаляр (массу), появляются
Поскольку нас сейчас интересуют и псевдовекторы, заметим, что
- с помощью формулы силы Лоренца напряжённость электрического поля и вектор магнитной индукции привязаны к векторам силы и скорости.
Продолжая эту процедуру, мы обнаруживаем, что все известные нам векторные величины оказываются теперь не только интуитивно, но и формально, привязаны к исходному пространству. А именно все они в некотором смысле являются его элементами, так как выражаются в сущности как линейные комбинации других векторов (со скалярными множителями, возможно, и размерными, но скалярными, а поэтому формально вполне законными).
Скалярные и векторные величины
- Векторное исчисление (например, перемещение (s),сила (F), ускорение (a), скорость (V)энергия (Е)) .
скалярные величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений (длина (L), площадь (S), объм (V),время (t), масса (m) и т. д.) ;
- Скалярные величины: температура, объм, плотность, электрический потенциал, потенциальная энергия тела (например, в поле силы тяжести) . Также модуль любого вектора (например, перечисленных ниже) .
Векторные величины: радиус-вектор, скорость, ускорение, напряжнность электрического поля, напряжнность магнитного поля. И многие другие 🙂
- векторная величина имеет численное выражение и направление: скорость, ускорение, сила, электромагнитная индукция, перемещение и т. п. , а скалярная только численное выражение объем, плотность, длиа, ширина, высота, масса (не путать с весом) темпереатура
- векторные например скорость (v),сила (F),перемещение (s),импульс (р), энергия (Е). над каждой из этих букв ставится стрелочка-вектор. поэтому они векторные. а скалярные-это масса (m),объем (V),площадь (S),время (t),высота (h)
- Векторные это прямолинейные, касательные движения.
Скалярные это замкнутые движения, которые экранируют векторные.
Векторные движения передаются через скалярные, как через посредников, как ток передатся от атома к атому по проводнику. - Скалярные величины: температура, объм, плотность, электрический потенциал, потенциальная энергия тела (например, в поле силы тяжести) . Также модуль любого вектора (например, перечисленных ниже) .
Векторные величины: радиус-вектор, скорость, ускорение, напряжнность электрического поля, напряжнность магнитного поля. И многие другие:-
- Скалярная величина (скаляр) это физическая величина, которая имеет только одну характеристику численное значение.
Скалярная величина может быть положительной или отрицательной.
Примеры скалярных величин: масса, температура, путь, работа, время, период, частота, плотность, энергия, объем, электроемкость, напряжение, сила тока и т. д.
Математические действия со скалярными величинами это алгебраические действия.
Векторная величина
Векторная величина (вектор) это физическая величина, которая имеет две характеристики модуль и направление в пространстве.
Примеры векторных величин: скорость, сила, ускорение, напряженность и т. д.
Геометрически вектор изображается как направленный отрезок прямой линии, длина которого в масштабе модуль вектора.
В курсе физике часто встречаются такие величины, для описания которых достаточно знать только числовые значения. Например, масса, время, длина.
Величины, которые характеризуются только числовым значением, называются скалярными или скалярами .
Кроме скалярных величин, используются величины, которые имеют и числовое значение и направление. Например, скорость, ускорение, сила.
Величины, которые характеризуются числовым значением и направлением, называются векторными или векторами .
Обозначаются векторные величины соответствующими буквами со стрелкой наверху или выделяются жирным шрифтом. Например, вектор силы обозначается \(\vec F\) или F . Числовое значение векторной величины называется модулем или длиной вектора. Значение вектора силы обозначают F или \(\left|\vec F \right|\).
Изображение вектора
Векторы изображают направленными отрезками. Началом вектора называют ту точку, откуда начинается направленный отрезок (точка А на рис. 1), концом вектора – точку, в которой заканчивается стрелка (точка B на рис. 1).
Рис. 1.
Два вектора называются равными , если они имеют одинаковую длину и направлены в одну сторону. Такие вектора изображают направленными отрезками, имеющими одинаковые длины и направления. Например, на рис. 2 изображены векторы \(\vec F_1 =\vec F_2\).
Рис. 2.При изображении на одном рисунке двух и более векторов, отрезки строят в заранее выбранном масштабе. Например, на рис. 3 изображены вектора, длины которых \(\upsilon_1\) = 2 м/c, \(\upsilon_2\) = 3 м/c.
Рис. 3.Способ задания вектора
На плоскости вектор можно задавать несколькими способами:
1. Указать координаты начала и конца вектора. Например, вектор \(\Delta\vec r\) на рис. 4 задан координатами начала вектора – (2, 4) (м), конца – (6, 8) (м).
Рис. 4.2. Указать модуль вектора (его значение) и угол между направлением вектора и некоторым заранее выбранным направлением на плоскости. Часто за такое направление в положительную сторону оси 0Х . Углы, измеренные от этого направления против часовой стрелки, считаются положительными. На рис. 5 вектор \(\Delta\vec r\) задан двумя числами b и \(\alpha\) , указывающими длину и направление вектора.
Рис. 5.