В задачах на построение будем рассматривать построение геометрической фигуры, которое можно выполнить с помощью линейки и циркуля.

С помощью линейки можно провести:

произвольную прямую;

произвольную прямую, проходящую через данную точку;

прямую, проходящую через две данные точки.

С помощью циркуля можно описать из данного центра окружность данного радиуса.

Циркулем можно отложить отрезок на данной прямой от данной точки.

Рассмотрим основные задачи на построение.

Задача 1. Построить треугольник с данными сторонами а, b, с (рис.1).

Решение. С помощью линейки проведем произвольную прямую и возьмем на ней произвольную точку В. Раствором циркуля, равным а, описываем окружность с центром В и радиусом а. Пусть С - точка ее пересечения с прямой. Раствором циркуля, равным с, описываем окружность из центра В, а раствором циркуля, равным b - окружность из центра С. Пусть А - точка пересечения этих окружностей. Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, c.

Замечание. Чтобы три отрезка прямой могли служить сторонами треугольника, необходимо, чтобы больший из них был меньше суммы двух остальных (а < b + с).

Задача 2.

Решение. Данный угол с вершиной А и луч ОМ изображены на рисунке 2.

Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла. Пусть В и С - точки пересечения окружности со сторонами угла (рис.3, а). Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О - начальной точке данного луча (рис.3, б). Точку пересечения этой окружности с данным лучом обозначим С 1 . Опишем окружность с центром С 1 и радиусом ВС. Точка В 1 пересечения двух окружностей лежит на стороне искомого угла. Это следует из равенства Δ ABC = Δ ОВ 1 С 1 (третий признак равенства треугольников).

Задача 3. Построить биссектрису данного угла (рис.4).

Решение. Из вершины А данного угла, как из центра, проводим окружность произвольного радиуса. Пусть В и С - точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности. Пусть D - точка их пересечения, отличная от А. Луч AD делит угол А пополам. Это следует из равенства Δ ABD = Δ ACD (третий признак равенства треугольников).

Задача 4. Провести серединный перпендикуляр к данному отрезку (рис.5).

Решение. Произвольным, но одинаковым раствором циркуля (большим 1/2 АВ) описываем две дуги с центрами в точках А и В, которые пересекутся между собой в некоторых точках С и D. Прямая CD будет искомым перпендикуляром. Действительно, как видно из построения, каждая из точек С и D одинаково удалена от А и В; следовательно, эти точки должны лежать на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.

Задача 5. Разделить данный отрезок пополам. Решается так же, как и задача 4 (см. рис.5).

Задача 6. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.

Решение. Возможны два случая:

1) данная точка О лежит на данной прямой а (рис. 6).

Из точки О проводим произвольным радиусом окружность, пересекающую прямую а в точках А и В. Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Пусть О 1 - точка их пересечения, отличная от О. Получаем ОО 1 ⊥ AB. В самом деле, точки О и О 1 равноудалены от концов отрезка АВ и, следовательно, лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №34 с углубленным изучением отдельных предметов

МАН, физико-математическая секция

«Геометрические построения с помощью циркуля и линейки»

Выполнила: ученица 7 «А» класса

Батищева Виктория

Руководитель: Колтовская В.В.

Воронеж, 2013

3. Построение угла равного данному.

Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла (рис.3). Пусть В и С - точки пересечения окружности со сторонами угла. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О-начальной точке данной полупрямой. Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим С 1 . Опишем окружность с центром С 1 и Рис.3

радиусом ВС. Точка В 1 пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла.

6. Построение перпендикулярных прямых.

Проводим окружность с произвольным радиусом r с центром в точке O рис.6. Окружность пересекает прямую в точках A и B. Из точек A и B проводим окружности с радиусом AB. Пусть тоска С – точка пересечения этих окружностей. Точки А и В мы получили на первом шаге, при построении окружности с произвольным радиусом.

Искомая прямая проходит через точки С и О.

Рис.6

Известные задачи

1. Задача Брахмагупты

Построить вписанный четырехугольник по четырем его сторонам. Одно из решений использует окружность Аполлония. Решим задачу Аполлония, используя аналогию между трехокружником и треугольником. Как мы находим окружность, вписанную в треугольник: строим точку пересечения биссектрис, опускаем из нее перпендикуляры на стороны треугольника, основания перпендикуляров (точки пересечения перпендикуляра со стороной, на которую он опущен) и дают нам три точки, лежащие на искомой окружности. Проводим окружность через эти три точки – решение готово. Точно также мы поступим с задачей Аполлония.

2. Задача Аполлония

Построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна, но была восстановлена в 1600 г. Франсуа Виетом, «галльским Аполлонием», как его называли современники.

Если ни одна из заданных окружностей не лежит внутри другой, то эта задача имеет 8 существенно различных решений.

Построение правильных многоугольников.

П

равильный (или равносторонний ) треугольник - это правильный многоугольник с тремя сторонами, первый из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, а все углы равны 60°. Чтобы построить равносторонний треугольник нужно разделить окружность на 3 равные части. Для этого необходимо провести дугу радиусом R этой окружности лишь из одного конца диаметра, получим первое и второе деление. Третье деление находится на противоположном конце диаметра. Соединив эти точки, получим равносторонний треугольник.

Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения через деление окружности на 6 частей. Используем равенство сторон правильного шестиугольника радиусу описанной окружности. Из противоположных концов одного из диаметров окружности описываем дуги радиусом R. Точки пересечения этих дуг с заданной окружностью разделят её на 6 равных частей. Последовательно соединив найденные точки, получают правильный шестиугольник.

Построение правильного пятиугольника.

П
равильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник и обозначьте её центр как O . (Это зелёная окружность на схеме справа).

Выберите на окружности точку A , которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A .

Постройте прямую перпендикулярно прямой OA , проходящую через точку O . Обозначьте одно её пересечение с окружностью, как точку B .

Постройте точку C посередине между O и B .

C через точку A . Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D .

Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F .

Проведите окружность с центром в E через точку A G .

Проведите окружность с центром в F через точку A . Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H .

Постройте правильный пятиугольник AEGHF .

Неразрешимые задачи

Следующие три задачи на построение были поставлены ещё в античности:

Трисекция угла - разбить произвольный угол на три равные части.

Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла - лучи, делящие угол на три равные части. П. Л. Ванцель доказал в 1837 году, что задача разрешима только тогда, когда например, трисекция осуществима для углов α = 360°/n при условии, что целое число n не делится на 3. Тем не менее, в прессе время от времени публикуются (неверные) способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой.

Удвоение куба - классическая античная задача на построение циркулем и линейкой ребра куба, объём которого вдвое больше объёма заданного куба.

В современных обозначениях, задача сводится к решению уравнения . Всё сводится к проблеме построения отрезка длиной . П. Ванцель доказал в 1837 году, что эта задача не может быть решена с помощью циркуля и линейки.

Квадратура круга - задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу .

Как известно, с помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня; отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины π. Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа π, которая была доказана в 1882 году Линдеманом.

Другая известная неразрешимая с помощью циркуля и линейки задача - построение треугольника по трём заданным длинам биссектрис .

Причём эта задача остаётся неразрешимой даже при наличии трисектора.

Только в XIX веке было доказано, что все три задачи неразрешимы при использовании только циркуля и линейки. Вопрос возможности построения полностью решён алгебраическими методами, основанными на теории Галуа.

А ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ, ЧТО...

(из истории геометрических построений)

Когда-то в построение правильных многоугольников вкладывали мистический смысл.

Так, пифагорейцы, последователи религиозно-философского учения, основанного Пифагором, и жившие в древней Греции (V I-I V вв. до н. э.), приняли в качестве знака своего союза звездчатый многоугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника.

Правила строгого геометрического построения некоторых правильных многоугольников изложены в книге «Начала» древнегреческого математика Евклида, жившего в III в. до н.э. Для выполнения этих построений Евклид предлагал пользоваться только линейкой и циркулем, который в то время был без шарнирного устройства соединения ножек (такое ограничение в инструментах было непреложным требованием античной математики).

Правильные многоугольники нашли широкое применение и в античной астрономии. Если Евклида построение этих фигур интересовало с точки зрения математики, то для древнегреческого астронома Клавдия Птолемея (около 90 - 160 г. н. э.) оно оказалось необходимым как вспомогательное средство при решении астрономических задач. Так, в 1-й книге «Альмагесты» вся десятая глава посвящена построению правильных пяти- и десятиугольников.

Однако помимо чисто научных трудов, построение правильных многоугольников было неотъемлемой частью книг для строителей, ремесленников, художников. Умение изображать эти фигуры издавна требовалось и в архитектуре, и в ювелирном деле, и в изобразительном искусстве.

В «Десяти книгах о зодчестве» римского архитектора Витрувия (жившего примерно в 63 -14 гг. до н. э.) говорится, что городские стены должны иметь в плане вид правильного многоугольника, а башни крепости «следует делать круглыми или многоугольными, ибо четырехугольник скорее разрушается осадными орудиями».

Планировка городов очень интересовала Витрувия, который считал, что нужно спланировать улицы так, чтобы вдоль них не дули основные ветры. Предполагалось, что таких ветров восемь и что они дуют в определенных направлениях.

В эпоху Возрождения построение правильных многоугольников, и в частности пятиугольника, представляло не простую математическую игру, а являлось необходимой предпосылкой для построения крепостей.

Правильный шестиугольник явился предметом специального исследования великого немецкого астронома и математика Иоганна Кеплера (1571-1630), о котором он рассказывает в своей книге «Новогодний подарок, или о шестиугольных снежинках». Рассуждал о причинах того, почему снежинки имеют шестиугольную форму, он отмечает, в частности, следующее: «...плоскость можно покрыть без зазоров лишь следующими фигурами: равносторонними треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками. Среди этих фигур правильный шестиугольник покрывает наибольшую площадь»

0дним из наиболее известных ученых, занимавшихся геометрическими построениями, был великий немецкий художник и математик Альбрехт Дюрер (1471 -1528), который посвятил им значительную часть своей книги «Руководства...». Он предложил правила построения правильных многоугольников с 3. 4, 5... 16-ю сторонами. Методы деления окружности, предложенные Дюрером, не универсальны, в каждом конкретном случае используется индивидуальный прием.

Дюрер применял методы построения правильных многоугольников в художественной практике, например, при создании разного рода орнаментов и узоров для паркета. Наброски таких узоров были сделаны им во время поездки в Нидерланды, где паркетные полы встречались во многих домах.

Дюрер составлял орнаменты из правильных многоугольников, которые соединены в кольца (кольца из шести равносторонних треугольников, четырех четырехугольников, трех или шести шестиугольников, четырнадцати семиугольников, четырех восьмиугольников).

Заключение

Итак, геометрические построения - это способ решения задачи, при котором ответ получают графическим путем. Построения выполняют чертежными инструментами при максимальной точности и аккуратности работы, так как от этого зависит правильность решения.

Благодаря этой работе я познакомилась с историей возникновения циркуля, подробнее познакомилась с правилами выполнения геометрических построений, получила новые знания и применила их на практике.
Решение задач на построение циркулем и линейкой – полезное времяпровождение, позволяющее по-новому посмотреть на известные свойства геометрических фигур и их элементов. В данной работе рассмотрены наиболее актуальные задачи, связанные с геометрическими построениями с помощью циркуля и линейки. Рассмотрены основные задачи и даны их решения. Приведенные задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ.
Таким образом, цель работы достигнута, поставленные задачи выполнены.

Данная статья написана по материалам одного из разделов книги Седжвика, Уэйна и Дондеро "Программирование на языке Python", уже упоминавшейся ранее . Называется этот раздел "Системы итерационных функций", и в нём описано построение различных изображений, таких как треугольник Серпиньского, папоротник Барнсли и некоторых других, с помощью достаточно несложного алгоритма, который, к тому же, ещё и с лёгкостью реализуется.

Начну я с описания данного алгоритма. Я буду использовать математическую терминологию, в том числе, и ту, которую авторы книги, в ходе своего повествования, не задействуют. Сугубо математический взгляд на алгоритмы облегчает мне их понимание, да и излагать их с помощью математического языка мне достаточно удобно.

Так что для понимания теоретической части статьи читателю пригодятся знания некоторых разделов математики, которые обычно читаются в технических вузах. А именно, нелишним будет знакомство с теорией вероятностей и элементами математического анализа.

За теоретической частью статьи будет следовать практическая, описывающая реализацию алгоритма на языке C99. Поскольку результатами работы программы будут являться изображения, мы будем использовать в программе графическую библиотеку pgraph , предполагая, что читатель, хотя бы в общих чертах, с ней знаком.

Итак, переходим к теоретической части нашего повествования.

Итерационные функции и случайные последовательности

Перед тем, как изложить схему, по которой будет вестись построение изображений, поговорим о последовательностях, члены которых вычисляются посредством рекуррентных формул.

Зададим 2 последовательности, x n n = 1 ∞ и y n n = 1 ∞ , с помощью следующих рекуррентных формул:

X n = f x n - 1 , y n - 1 , n ∈ ℕ , y n = g x n - 1 , y n - 1 , n ∈ ℕ .

Поясним, что x 0 и y 0 - это некоторые заранее заданные числа, а f (x , y ) и g (x , y ) - это некоторые функции двух переменных, называемые итерационными . Сам процесс вычисления очередного члена той или иной последовательности через такие функции будем называть итерациями , а приведённый выше набор рекуррентных формул - итерационной схемой.

Рекурсивный способ задания последовательностей, скорее всего, хорошо знаком читателю, если он изучал математику в вузе. Несколько необычным может показаться "перекрёстный" способ вычисления членов последовательностей, при котором для вычисления n -го члена каждой из двух последовательностей нужен не только n − 1-й член той же последовательности, но и n − 1-й член другой.

А теперь рассмотрим схему построения членов двух последовательностей, использующую не одну пару итерационных функций, а m пар. Каждая из этих функций будет линейной по обеим переменным, а также будет содержать аддитивную константу. Более конкретно, функции будут иметь вид:

F k x , y = a k x + b k y + c k g k x , y = d k x + e k y + h k , k = 0 , 1 , … , m - 1 .

Для каждого n , начиная с 1, будет случайным образом выбираться число от 0 до m − 1, и при вычислении x n и y n в рекуррентных формулах будет использоваться пара итерационных функций, индексы которых равны данному случайному числу. Отметим, что случайные числа, "появляющиеся" перед каждой итерацией, не обязаны быть равновероятными. Однако для разных шагов вероятность появления конкретного фиксированного числа одна и та же.

Давайте теперь сформулируем сказанное на строгом математическом языке. Рассмотрим последовательность дискретных независимых в совокупности случайных величин T n = 1 ∞ , распределённых по одному и тому же закону. А именно: каждая случайная величина принимает значения 0, 1, …, m − 1 с соответствующими вероятностями p 0 , p 1 , …, p m -1 .

Теперь последовательности, x n n = 1 ∞ и y n n = 1 ∞ зададим с помощью следующей итерационной схемы:

X n = f T n x n - 1 , y n - 1 , n ∈ ℕ , y n = g T n x n - 1 , y n - 1 , n ∈ ℕ .

Как и ранее, x 0 и y 0 - это некоторые заранее заданные числа.

Таким образом, каждая из последовательностей является случайной, т. е. её члены - это случайные величины. Однако, каждую из этих последовательностей можно "реализовать", т. е. вычислить все её члены (разумеется, таких реализаций будет бесконечно много).

Зададимся главным вопросом данного раздела. А какое же отношение изображения, которые мы собираемся строить, имеют к этой паре случайных последовательностей? Очень простое. Построим реализацию этих двух последовательностей. Для каждого натурального n пару (x n , y n ) можно рассматривать как координаты точки, заданной в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости. Так вот, изображение, соответствующее некоторой паре реализованных последовательностей, представляет собой геометрическое место всех таких точек на плоскости.

Казалось бы, для каждой реализации пары последовательностей мы будем получать своё изображение, отличное от других. Однако, как это ни парадоксально, получаемые изображения каждый раз будут практически совпадать (т. е. при построении на компьютере будут неразличимы человеческим глазом). А при соответствующем подборе итерационных функций и законов распределения случайных величин, участвующих в формировании членов последовательностей, можно создавать весьма интересные узоры.

Добавим, что при построении изображений на компьютере, мы, разумеется, будем выполнять лишь конечное (но достаточно большое) число итераций.

О генерации псевдослучайных чисел

При написании программы мы столкнёмся с необходимостью генерировать псевдослучайные числа, распределённые, вообще говоря, не равномерно, а по заранее заданному закону. В то же самое время, мы будем располагать лишь программным генератором псевдослучайных чисел, равномерно распределённых на промежутке . Как из второго распределения получить первое?

Переведём задачу в математическую плоскость. Пусть имеется непрерывная случайная величина U , распределённая равномерно на отрезке . Зададимся целью построить дискретную случайную величину T как функцию от U , таким образом, чтобы T принимала значения 0, 1, …, m − 1 с соответствующими вероятностями p 0 , p 1 , …, p m -1 .

Решить поставленную задачу весьма просто. Введём в рассмотрение суммы вероятностей

s k = ∑ i = 0 k - 1 p i , k = 0 , 1 , … , m - 1 .

Если верхний предел суммирования по i меньше нижнего, то такую сумму по определению будем полагать равной 0.

Т выразим через U следующим образом:

T = 0 , если U ∈ s 0 , s 1 , 1 , если U ∈ s 1 , s 2 , 2 , если U ∈ s 2 , s 3 , … … … … … … , … … … … … … , m - 1 , если U ∈ s m - 1 , 1 .

Очевидно, случайная величина T распределена по требуемому нами закону. Заметим, что, по сути, Т - это номер промежутка, в который попадает случайная величина U (при условии, что промежутки мы нумеруем числами от 0 до m − 1 в порядке возрастания их левых границ).

С практической точки зрения полученный результат позволяет на каждом шаге итерации в качестве номера итерационных функций брать номер промежутка, в который попадает число, сгенерированное датчиком псевдослучайных чисел, равномерно распределённых на отрезке .

А теперь можно переходить к написанию программы.

Структура программы

Программа состоит из файла main.c и файлов, образующих графическую библиотеку pgraph. Содержимое файла main.c начинается со следующей директивы, подключающей графическую библиотеку:

#include "pgraph.h"

Далее в файле содержатся описания глобальных константных переменных и константных массивов. За ними - определения функций get_random_value() и main() . Первая из них генерирует псевдослучайные числа, а вторая выполняет основную работу по построению изображений.

Глобальные константные переменные и константные массивы

Вся информация, необходимая для построения конкретного изображения, содержится в глобальных константных переменных и константных массивах. Разумеется, для каждого изображения набор значений констант и элементов константных массивов будет "свой".

Ниже приводятся описания данных констант и массивов.

• n - количество итераций;
• w - ширина изображения в пикселях;
• h - высота изображения в пикселях;
• xc - абсцисса начала новой системы координат в старой системе;
• yc - ордината начала новой системы координат в старой системе;
• l - длина в пикселях отрезка, параллельного одной из осей координат, имеющего в новой системе координат единичную длину;
• m - количество пар итерационных функций, т. е. число m ;
• s - одномерный массив размера m , содержащий суммы вероятностей случайных величин T n (k -й элемент массива содержит s k );
• f - двухмерный массив, состоящий из m f k (x , y k , 0), (k , 1), (k , 2) содержат числа a k , b k , c k соответственно, где 0 ≤ k ≤ m − 1);
• g - двухмерный массив, состоящий из m "строк" и 3-х "столбцов", содержащий константы, задействованные в функциях g k (x , y ) (элементы массива с индексами (k , 0), (k , 1), (k , 2) содержат числа d k , e k , h k соответственно, где 0 ≤ k ≤ m − 1).

Все переменные имеют тип int , а базовым типом всех массивов является double .

Поясним, что под "старой" системой координат подразумевается та, которая определена в библиотеке pgraph. Построения всех изображений будут вестись в новой системе, полученной из старой параллельным переносом (сдвиги по осям абсцисс и ординат равны соответственно x c и y c ) и "сжатием" в l раз. Таким образом, точка, имеющая в новой системе координаты (x , y ), в старой будет иметь координаты (x l + x c , y l + y c ). Излишне, думаю, пояснять, что за хранение чисел x c , y c и l ответственны константные переменные xc , yc и l соответственно.

Для хранения чисел x 0 и y 0 переменные не выделяются, поскольку во всех случаях построения изображений в качестве этих чисел берутся нули.

Генерация псевдослучайных чисел: функция get_random_value()

Функция get_random_value() при каждом обращении к ней генерирует псевдослучайное целое число в диапазоне от 0 до m − 1 в соответствии с описанной ранее схемой . Вот код этой функции:

1. int get_random_value() 2. { 3. double r = (double ) rand() / RAND_MAX; 4. int c = 1 ; 5. while (s[c] < r && ++c < m) 6. ; 7. return c - 1 ; 8. }

Получаем с помощью стандартной библиотечной функции rand() псевдослучайное число в диапазоне от 0 до значения макроса RAND_MAX , делим полученный результат на это значение и присваиваем частное переменной r (стр. 3). Теперь в r хранится число, принадлежащее отрезку . Его приближённо можно считать значением случайной величины, равномерно распределённой на этом отрезке.

Поясним, что значение макроса RAND_MAX , в нашем случае (т. е. в случае использования компилятора MinGW64 версии 4.9.2 для 64-битных систем) равно 32767.

Теперь, с помощью линейного поиска, задействующего цикл while , ищем индекс наибольшего элемента массива s , не превосходящего значение r , увеличенный на единицу, и сохраняем его в переменной c (см. стр. 4-6). Отметим, что в случае, если значение r - нулевое, цикл не выполняется ни разу, а переменная с сохраняет единичное значение (см. стр. 4).

Значение, возвращаемое функцией, можно приближённо рассматривать как значение случайной величины T , описанной в упомянутом выше разделе.

Генерация изображения: функция main()

А вот и код функции main() :

1. int main() 2. { 3. image *img = create_image(w, h); 4. double x = 0 , y = 0 ; 5. for (int i = 0 ; i < n; i++) 6. { 7. int r = get_random_value(); 8. double x1 = f[r] * x + f[r] * y + f[r]; 9. double y1 = g[r] * x + g[r] * y + g[r]; 10. x = x1; 11. y = y1; 12. set_color(img, round(x * l) + xc, round(y * l) + yc, BLACK); 13. } 14. save_to_file(img, "out.bmp" ); 15. free(img); 16. return 0 ; 17. }

Создаём изображение с заданными размерами (стр. 3). Выделяем память под переменные x и y , в которых будут храниться текущие члены последовательностей, и инициализируем их нулями (стр. 4). Напомню, что в качестве чисел x 0 и y 0 , участвующих в вычислении первых членов каждой из последовательностей, берутся нули.

Вычисляем в цикле for первые n членов каждой последовательности (стр. 5-13). Получаем сначала псевдослучайное число и записываем его в r (стр. 7). Далее вычисляем текущие значения членов обеих последовательностей, помещая их во временные переменные x1 и y1 (стр. 8, 9). При вычислении используем константы, фигурирующие в итерационных функциях и хранящиеся в массивах f и g . Выбор той или иной пары наборов коэффициентов (а значит, пары итерационных функций) зависит от значения r , использующегося в качестве первых индексов участвующих в вычислениях элементов массивов.

Переписываем вычисленные текущие значения в переменные x и y (стр. 10, 11). Координаты точки, содержащиеся в этих переменных, переводим в координаты исходной системы координат, округляем до целых и наносим точку с результирующими координатами на изображение чёрным цветом (стр. 12).

По завершении цикла сохраняем сформированное изображение в файле "out.bmp" (стр. 14) и освобождаем занимаемую изображением память (стр. 15). На этом работа функции завершается.

Построение изображения треугольника Серпиньского

Треугольник Серпиньского представляет собой множество точек, получаемого из всех точек некоторого исходного равностороннего треугольника следующим образом. Треугольник разбивается тремя средними линиями на 4 треугольника, после чего "центральный" треугольник удаляется. Далее c каждым из оставшихся трёх равносторонних треугольников выполняется та же операция. Наконец, то же самое мы делаем с получившимися девятью равносторонними треугольниками.

Продолжая описанные операции до бесконечности, удаляем, в итоге, из исходного треугольника бесконечное число равносторонних треугольников, сумма площадей которых равна площади исходного. Оставшиеся точки образуют линию, называемую треугольником Серпиньского , играющую важную роль в теории множеств.

В книге Седжвика и других авторов предлагается следующий способ построения изображения треугольника Серпиньского. Рассмотрим 3 точки на плоскости, являющиеся вершинами равностороннего треугольника, например, точки с координатами 0 , 0 , 0 , 1 , 1 / 2 , 3 / 2 в декартовой прямоугольной системе координат. Выбираем наугад (с равными вероятностями) одну из трёх вершин треугольника и строим точку, делящую отрезок, соединяющий вершину с координатами 0 , 0 и выбранную наугад вершину, пополам. Это первая точка нашего изображения.

Приведённый алгоритм можно уложить в описанную ранее схему построения изображений, задействующую случайные последовательности и итерационные функции.

Нам потребуются 3 пары итерационных функций. Их индексы 0, 1, 2 должны выбираться с вероятностями 1/3, 1/3, 1/3 соответственно. Сами итерационные функции приведены ниже.

F 0 x , y = 1 / 2 x , g 0 x , y = 1 / 2 y , f 1 x , y = 1 / 2 x + 1 / 2 , g 1 x , y = 1 / 2 y , f 2 x , y = 1 / 2 x + 1 / 4 , g 2 x , y = 1 / 2 y + 3 / 4 .

Теперь давайте вставим в нашу программу описания глобальных константных переменных и константных массивов, соответствующие данным вероятностям и данным итерационным функциям. Но для начала определим макрос TRIANGLE , поместив в файл main.с после инструкции #include следующую инструкцию

#define TRIANGLE

После инструкции вставляем в файл следующий код:

//Треугольник Серпиньского #ifdef TRIANGLE const int n = 100000 ; //количество итераций const int w = 620 , h = 550 ; //размеры изображения const int xc = 10 , yc = 10 ; //координаты начала новой системы координат в старой const int l = 600 ; //коэффициент сжатия const int m = 3 ; //количество пар итерационных функций const double s = {0 , 0.3333333 , 0.6666667 }; //массив сумм вероятностей const double f = {{0.5 , 0.0 , 0.0 }, //массив коэффициентов для функций f(x,y), {0.5 , 0.0 , 0.5 }, //задействованных для вычислений x {0.5 , 0.0 , 0.25 }}; const double g = {{0.0 , 0.5 , 0.0 }, //массив коэффициентов для функций g(x,y), {0.0 , 0.5 , 0.0 }, //задействованных для вычислений y {0.0 , 0.5 , 0.4330127 }}; #endif

Приведённый фрагмент кода (без директив препроцессора) будет скомпилирован только в случае, если определён макрос TRIANGLE (а он определён). Разумеется, константы, представимые лишь с помощью бесконечных десятичных дробей (рациональных или иррациональных) мы округляли.

В результате компиляции и выполнения программы в корневой директории исполняемого файла появляется графический файл out.bmp, содержащий следующее изображение:

Построение изображения папоротника Барнсли

Следующее изображение, построение которого описывается в книге Седжвика и других, - это изображение папоротника Барнсли. Теперь нам уже потребуются 4 пары итерационных функций. Их индексы 0, 1, 2, 3 будут выбираться с вероятностями 0,01, 0,85, 0,07, 0,07 соответственно. А вот и сами итерационные функции:

F 0 x , y = 0 , 5 , g 0 x , y = 0 , 16 y , f 1 x , y = 0 , 85 x + 0 , 04 y + 0 , 075 , g 1 x , y = - 0 , 04 x + 0 , 85 y + 0 , 18 , f 2 x , y = 0 , 2 x - 0 , 26 y + 0 , 4 , g 2 x , y = 0 , 23 x + 0 , 22 y + 0 , 045 , f 3 x , y = - 0 , 15 x + 0 , 28 y + 0 , 575 , g 3 x , y = 0 , 26 x + 0 , 24 y - 0 , 086 .

Вносим теперь изменения в программу. Инструкцию #define заменяем инструкцией

#define FERN

А после #ifdef -блока помещаем следующий фрагмент кода:

//Папоротник Барнсли #ifdef FERN const int n = 100000 ; const int l = 600 ; const int m = 4 ; const double s = {0 , 0.01 , 0.86 , 0.93 }; const double f = {{0.0 , 0.0 , 0.5 }, {0.85 , 0.04 , 0.075 }, {0.2 , -0.26 , 0.4 }, {-0.15 , 0.28 , 0.575 }}; const double g = {{0.0 , 0.16 , 0.0 }, {-0.04 , 0.85 , 0.18 }, {0.23 , 0.22 , 0.045 }, {0.26 , 0.24 , -0.086 }}; #endif

Результатом компиляции и запуска программы является следующее изображение:

Построение изображения дерева

Теперь построим то, что в книге Седжвика и других авторов называется "деревом", хотя то, что оказывается изображённым, скорее, похоже на набор деревьев различных размеров. На этот раз в итерационном процессе будут участвовать 6 пар итерационных функций. Их индексы 0, 1, 2, 3, 4, 5 будут выбираться с вероятностями 0,1, 0,1, 0,2, 0,2, 0,2, 0,2 соответственно. Вот эти функции:

F 0 x , y = 0 , 55 , g 0 x , y = 0 , 6 y , f 1 x , y = - 0 , 05 x + 0 , 525 , g 1 x , y = - 0 , 5 x + 0 , 75 , f 2 x , y = 0 , 46 x - 0 , 15 y + 0 , 27 , g 2 x , y = 0 , 39 x + 0 , 38 y + 0 , 105 , f 3 x , y = 0 , 47 x - 0 , 15 y + 0 , 265 , g 3 x , y = 0 , 17 x + 0 , 42 y + 0 , 465 , f 4 x , y = 0 , 43 x + 0 , 26 y + 0 , 29 , g 4 x , y = - 0 , 25 x + 0 , 45 y + 0 , 625 , f 5 x , y = 0 , 42 x + 0 , 26 y + 0 , 29 , g 5 x , y = - 0 , 35 x + 0 , 31 y + 0 , 525 .

#define TREE

За последним #ifdef -блоком вставляем следующий код:

//Дерево #ifdef TREE const int n = 100000 ; const int w = 620 , h = 620 ; const int xc = 0 , yc = 10 ; const int l = 600 ; const int m = 6 ; const double s = {0 , 0.1 , 0.2 , 0.4 , 0.6 , 0.8 }; const double f = {{0.0 , 0.0 , 0.55 }, {-0.05 , 0.0 , 0.525 }, {0.46 , -0.15 , 0.27 }, {0.47 , -0.15 , 0.265 }, {0.43 , 0.26 , 0.29 }, {0.42 , 0.26 , 0.29 }}; const double g = {{0.0 , 0.6 , 0.0 }, {-0.5 , 0.0 , 0.75 }, {0.39 , 0.38 , 0.105 }, {0.17 , 0.42 , 0.465 }, {-0.25 , 0.45 , 0.625 }, {-0.35 , 0.31 , 0.525 }}; #endif

Результат работы скомпилированной программы - это изображение, приведённое ниже:

Последнее изображение, которое мы построим, руководствуясь книгой Седжвика, - это изображение коралла. Нам потребуются 3 пары итерационных функций. Их индексы 0, 1, 2 будут выбираться с вероятностями 0,4, 0,15, 0,45 соответственно. Итерационные функции приведены ниже.

F 0 x , y = 0 , 3077 x - 0 , 5315 y + 0 , 8863 , g 0 x , y = - 0 , 4615 x - 0 , 2937 y + 1 , 0962 , f 1 x , y = 0 , 3077 x - 0 , 0769 y + 0 , 2166 , g 1 x , y = 0 , 1538 x - 0 , 4476 y + 0 , 3384 , f 2 x , y = 0 , 5455 y + 0 , 0106 , g 2 x , y = 0 , 6923 x - 0 , 1958 y + 0 , 3808 .

Заменяем инструкцию #define инструкцией

#define CORAL

За последним #ifdef -блоком вставляем новый блок:

//Коралл #ifdef CORAL const int n = 100000 ; const int w = 620 , h = 620 ; const int xc = 10 , yc = 10 ; const int l = 600 ; const int m = 3 ; const double s = {0 , 0.4 , 0.55 }; const double f = {{0.3077 , -0.5315 , 0.8863 }, {0.3077 , -0.0769 , 0.2166 }, {0.0 , 0.5455 , 0.0106 }}; const double g = {{-0.4615 , -0.2937 , 1.0962 }, {0.1538 , -0.4476 , 0.3384 }, {0.6923 , -0.1958 , 0.3808 }}; #endif

Вот какое изображение получаем в результате компиляции и выполнения программы:

Заключение

Не знаю, как вам, а мне было интересно наблюдать за тем, как наборы математических формул "превращается" в весьма забавные изображения. А ещё меня удивляет то, что те, кто всё это придумали, смогли подобрать вероятности и константы, участвующие в итерационных функциях, таким образом, чтобы добиться таких удивительных картин! Методика подбора всех этих чисел (за исключением случая треугольника Серпиньского) мне совершенно непонятна!

Отмечу, что, судя по изображениям, треугольник Серпиньского и папоротник Барнсли являются фракталами. Скорее всего, то же самое можно сказать про "дерево" и "коралл", но их фрактальная природа, пожалуй, чуть менее очевидна.

По приведённой ниже ссылке, как всегда, можно скачать исходный код рассмотренной в статье программы. В файле main.c имеются четыре инструкции #define , каждая из которых соответствует одному из четырёх изображений. Три из них закомментированы. Ясно, что для того, чтобы перейти от одного изображения к другому, требуется закомментировать незакомментированную инструкцию и раскомментировать одну из закомментированных. Ну, Вы поняли...

А ещё с помощью несложного алгоритма можно добиться того, чтобы рассмотренные в статье изображения плавно "превращались" друг в друга. Но это уже тема для отдельной статьи .

Построения с помощью циркуля и линейки - раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности:

• Линейка не имеет делений и имеет сторону бесконечной длины, но только одну.
• Циркуль может иметь какой угодно большой или малый раствор (то есть может чертить окружность произвольного радиуса).

• 1 Пример
• 2 Формальное определение
• 3 Известные задачи
  • 3.1 Построение правильных многоугольников
  • 3.2 Неразрешимые задачи
• 4 Возможные и невозможные построения
• 5 Вариации и обобщения
• 6 Интересные факты
• 7 См. также
• 8 Примечания
• 9 Литература

Пример

Разбиение отрезка пополам

Задача на бисекцию . С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части. Одно из решений показано на рисунке:

• Циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB.
• Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг).
• По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q.
• Находим искомую середину отрезка AB - точку пересечения AB и PQ.

Формальное определение

В задачах на построение рассматриваются множество всех точек плоскости, множество всех прямых плоскости и множество всех окружностей плоскости, над которыми допускаются следующие операции:

1. Выделить точку из множества всех точек:
   1. произвольную точку
   2. произвольную точку на заданной прямой
   3. произвольную точку на заданной окружности
   4. точку пересечения двух заданных прямых
   5. точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности
   6. точки пересечения/касания двух заданных окружностей
2. «С помощью линейки » выделить прямую из множества всех прямых:
   1. произвольную прямую
   2. произвольную прямую, проходящую через заданную точку
   3. прямую, проходящую через две заданных точки
3. «С помощью циркуля » выделить окружность из множества всех окружностей:
   1. произвольную окружность
   2. произвольную окружность с центром в заданной точке
   3. произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками
   4. окружность с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками

В условиях задачи задается некоторое множество точек. Требуется с помощью конечного количества операций из числа перечисленных выше допустимых операций построить другое множество точек, находящееся в заданном соотношении с исходным множеством.

Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:

1. Описание способа построения заданного множества.
2. Доказательство того, что множество, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством. Обычно доказательство построения производится как обычное доказательство теоремы, опирающееся на аксиомы и другие доказанные теоремы.
3. Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или неединственности решения, получаемого описанным способом.

Известные задачи

• Задача Аполлония о построении окружности, касающейся трех заданных окружностей. Если ни одна из заданных окружностей не лежит внутри другой, то эта задача имеет 8 существенно различных решений.
• Задача Брахмагупты о построении вписанного четырехугольника по четырем его сторонам.

Построение правильных многоугольников

Основная статья: Теорема Гаусса - Ванцеля Построение правильного пятиугольника

Античным геометрам были известны способы построения правильных n-угольников для, и.

В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных n-угольников при, где - различные простые числа Ферма. 1836 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Неразрешимые задачи

Следующие три задачи на построение были поставлены ещё в античности:

• Трисекция угла - разбить произвольный угол на три равные части.
• Удвоение куба - построить ребро куба вдвое большего по объёму, чем данный куб
• Квадратура круга - построить квадрат, равный по площади данному кругу.

Лишь в XIX веке было доказано, что все три задачи неразрешимы при использовании только циркуля и линейки. Вопрос возможности построения полностью решён алгебраическими методами, основанными на теории Галуа.

• Другая известная неразрешимая с помощью циркуля и линейки задача - построение треугольника по трём заданным длинам биссектрис. Причём эта задача остаётся неразрешимой даже при наличии трисектора.

Возможные и невозможные построения

Каждое построение на самом деле является решением какого-либо уравнения, причем коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить о построении числа - графического решения уравнения определенного типа. рамках вышеописанных требований возможны следующие построения:

• Построение решений линейных уравнений.
• Построение решений квадратных уравнений.

Иначе говоря, возможно построить лишь числа равные арифметическим выражениям с использованием квадратного корня из исходных чисел (длин отрезков). Например,

• Если задан только отрезок длины, то невозможно представить в таком виде (отсюда невозможность удвоения куба).
• Возможность построить правильный 17-угольник следует из выражения на косинус угла:

Вариации и обобщения

• Построения с помощью одного циркуля. По теореме Мора - Маскерони с помощью одного циркуля можно построить любую фигуру, которую можно построить циркулем и линейкой. При этом прямая считается построенной, если на ней заданы две точки.
• Построения с помощью одной линейки. Легко заметить, что с помощью одной линейки можно проводить только проективно-инвариантные построения. частности,
  • невозможно даже разбить отрезок на две равные части,
  • также невозможно найти центр данной окружности.

Однако

• • при наличии на плоскости заранее проведённой окружности с отмеченным центром с одной линейкой можно провести те же построения, что и циркулем и линейкой (Теорема Штейнера - Понселе).
  • Если на линейке есть две засечки, то построения с помощью неё эквивалентны построениям с помощью циркуля и линейки (важный шаг в доказательстве этого сделал Наполеон).
• Построения с помощью инструментов с ограниченными возможностями. задачах такого рода инструменты (в противоположность классической постановке задачи) считаются не идеальными, а ограниченными: прямую через две точки с помощью линейки можно провести только при условии, что расстояние между этими точками не превышает некоторой величины; радиус окружностей, проводимых с помощью циркуля, может быть ограничен сверху, снизу или одновременно и сверху, и снизу.
• Построения с помощью плоского оригами. см. правила Худзита

• Узор на флаге Ирана описывается как построение с помощью циркуля и линейки.

См. также

• Программы динамической геометрии позволяют выполнять построения с помощью циркуля и линейки на компьютере.

Примечания

1. Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам?. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
2. Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
3. Стандарт флага Ирана (перс.)

Литература

• А. Адлер. Теория геометрических построений / Перевод с немецкого Г. М. Фихтенгольца. - Издание третье. - Л.: Учпедгиз, 1940. - 232 с.
• И. И. Александров. Сборник геометрических задач на построение. - Издание восемнадцатое. - М.: Учпедгиз, 1950. - 176 с.
• Б. И. Аргунов, М. Б. Балк. Геометрические построения на плоскости. Пособие для студентов педагогических институтов. - Издание второе. - М.: Учпедгиз, 1957. - 268 с.
• А. М. Воронец. Геометрия циркуля. - М.-Л.: ОНТИ, 1934. - 40 с. - (Популярная библиотека по математике под общей редакцией Л. А. Люстерника).
• В. А. Гейлер Неразрешимые задачи на построение // СОЖ. - 1999. - № 12. - С. 115-118.
• В. А. Кириченко Построения циркулем и линейкой и теория Галуа // Летняя школа «Современная математика». - Дубна, 2005.
• Ю. И. Манин. Книга IV. Геометрия // Энциклопедия элементарной математики. - М.: Физматгиз, 1963. - 568 с.
• Ю. Петерсен. Методы и теории решения геометрических задач на построение. - М.: Типография Э. Лисснера и Ю. Романа, 1892. - 114 с.
• В. В. Прасолов. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. - М.: Наука, 1992. - 80 с. - (Популярные лекции по математике).
• Я. Штейнер. Геометрические построения, выполняемые с помощью прямой линии и неподвижного круга. - М.: Учпедгиз, 1939. - 80 с.
• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. - М.: Просвещение, 1991. - С. 80. - 383 с. - ISBN 5-09-001287-3.

Построение с помощью циркуля и линейки Информацию О

В основе способов построения параллельных прямых с помощью различных инструментов лежат признаки параллельности прямых.

Построение параллельных прямых с помощью циркуля и линейки

Рассмотрим принцип построения параллельной прямой, проходящей через заданную точку , с помощью циркуля и линейки.

Пусть дана прямая и некоторая точка А, которая не принадлежит данной прямой.

Необходимо построить прямую, проходящую через заданную точку $А$ параллельно данной прямой.

На практике зачастую требуется построить две или более параллельных прямых без данной прямой и точки. В таком случае необходимо начертить прямую произвольно и отметить любую точку, которая не будет лежать на данной прямой.

Рассмотрим этапы построения параллельной прямой :

На практике также применяют метод построения параллельных прямых с помощью чертежного угольника и линейки.

Построение параллельных прямых с помощью угольника и линейки

Для построения прямой, которая будет проходить через точку М параллельно данной прямой а , необходимо:

1. Угольник приложить к прямой $а$ диагональю (смотрите рисунок), а к его большему катету приложить линейку.
2. Передвинуть угольник по линейке до тех пор, пока данная точка $М$ не окажется на диагонали угольника.
3. Провести через точку $М$ искомую прямую $b$.

Мы получили прямую, проходящую через заданную точку $М$, параллельную данной прямой $а$:

$a \parallel b$, т. $M \in b$.

Параллельность прямых $а$ и $b$ видна из равности соответственных углов, которые отмечены на рисунке буквами $\alpha$ и $\beta$.

Построение параллельной прямой, отстоящей на заданное расстояние от данной прямой

В случае необходимости построения прямой, параллельной заданной прямой и отстоящей от нее на заданном расстоянии можно воспользоваться линейкой и угольником.

Пусть дана прямая $MN$ и расстояние $а$.

1. Отметим на заданной прямой $MN$ произвольную точку и назовем ее $В$.
2. Через точку $В$ проведем прямую, перпендикулярную к прямой $MN$, и назовем ее $АВ$.
3. На прямой $АВ$ от точки $В$ отложим отрезок $ВС=а$.
4. С помощью угольника и линейки проведем прямую $CD$ через точку $С$, которая и будет параллельной заданной прямой $АВ$.

Если отложить на прямой $АВ$ от точки $В$ отрезок $ВС=а$ в другую сторону, то получим еще одну параллельную прямую к заданной, отстоящую от нее на заданное расстояние $а$.

Другие способы построения параллельных прямых

Еще одним способом построения параллельных прямых является построение с помощью рейсшины. Чаще всего данный способ используют в чертежной практике.

При выполнении столярных работ для разметки и построения параллельных прямых, используется специальный чертежный инструмент – малка – две деревянные планки, которые скрепляются шарниром.