Критерии для принятия решения.

⁰

При использовании максиминного критерия Вальда в качестве оптимальной выбирается стратегия, которая максимизирует минимальный результат для каждой альтернативы:

Значение критерия Вальда для рассматриваемого примера v op , = 4. Этому значению соответствует стратегия Х 4 .

Для критерия минимаксного риска Сэвиджа оптимальной является стратегия, при которой величина риска Гу в наихудших условиях минимальна, т.е. равна

а риск определяется как Гу =(шахау)-ау. Значение критерия Сэвиджа

для рассматриваемого примера равно единице. Ему соответствует стратегия Х 2 .

Критерий оптимизма - пессимизма Гурвица предполагает, что при выборе решения не следует руководствоваться ни крайним пессимизмом, ни крайним оптимизмом. Согласно этому критерию стратегия выбирается из условия

Значение коэффициента пессимизма к выбирается между нулем и единицей. При к = 1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда, при к > 0 - в критерий крайнего оптимизма.

В случае использования критерия безразличия Лапласа предполагается, что (неизвестные) вероятности возможных состояний окружающей среды (природы) одинаковы. Этот критерий выявляет альтернативу с максимальным средним результатом:

Пример 13.15. Молодой специалист (ЛПР) приглашен на стажировку в одну из европейских стран на пять лет. По итогам испытательного срока длительностью один год он может быть приглашен на постоянную работу. Ему необходимо распорядиться двухкомнатной квартирой, которую он имеет.

Возможные состояния конъюнктуры рынка S/.

1) останется в Европе и курс доллара увеличится на 10% за год;
2) останется в Европе и курс доллара уменьшится на 10% за год;
3) вернется в Россию и курс доллара увеличится на 10% за год;
4) вернется в Россию и курс доллара уменьшится на 10% за год.

Варианты решений для ЛПР Я):

1) продать квартиру перед отъездом за 7 200 тыс. руб. (240 тыс. дол.);
2) сдать квартиру в аренду за 30 тыс. руб./мес.;
3) сдать одну комнату в аренду за 12 тыс. руб., а вторую продать за 2 400 тыс. руб.;
4) продать квартиру через год, когда решение о переезде будет принято.

Очевидно, что если придется возвращаться и квартира будет сохранена, то этот вариант предпочтительнее. К такому варианту добавим некий бонус:

1) если квартира продана сразу, то вычитаем сумму минимальной стоимости квартиры - 220 тыс. дол.;
2) если квартира сохранена, то такую же сумму прибавляем;
3) если продана только одна комната, то бонус равен стоимости одной комнаты - 80 тыс. дол.

Пусть курс доллара на данный момент равен 30 руб. Составим матрицу выигрышей в долларах США (табл. 13.9).

Вычислим платежную матрицу игры (табл. 13.10) и матрицу рисков (табл. 13.11)

Найдем решения, используя все рассмотренные критерии. Применяя максиминный критерий Вальда, получим

Этому критерию соответствует стратегия Ху Критерий минимаксного риска Сэвиджа дает

Таблица 13.9



		30000 12 , -0000	30000 12 , -0000

12 000 12+2 400 000	12 000 12+ 2400 000	12 000 1 2+ 2 400 000	12 000 12+2 400 000

		7200000 , омо

344 . ГЛАВА 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

Таблица 13.10

г опт = шах {0,0,59111,0} = 59111,

что соответствует выбору стратегии X 3 .

Применяя критерий Гурвица при к = 0,6 (что соответствует среднестатистическим предпочтениям), получим

Этому критерию также соответствует стратегия X 3 . По критерию Лапласа

Это решение соответствует стратегии Х 4 .

Таким образом, по трем критериям оптимальной стратегией является X з.

В заключении отметим, что каждый критерий имеет свои положительные и отрицательные стороны. Анализ матрицы игры при помощи разных критериев позволяет исследовать задачу с разных точек зрения, особенно это полезно, если соответствующая матрица имеет большую размерность. Это в любом случае более конструктивный подход, чем попытки сравнения множества вариантов. Если полученные решения совпадут, как в примере, то решение однозначно. Если нет, то нужно провести дополнительный анализ с учетом всех характеристик рассматриваемых критериев.

Назначение сервиса . Данный тип задач относится к задачам принятия решений в условиях неопределенности . С помощью сервиса можно выбрать оптимальную стратегию, используя:

критерий минимакса, критерий максимакса, критерий Байеса, критерий Вальда, критерий Сэвиджа , критерий Лапласа, критерий Ходжа-Лемана см. Типовые задания ;
критерий Гурвица, обобщенный критерий Гурвица с расчетом эффективности.

Также проводится планирование идеального эксперимента. Результаты онлайн вычислений оформляются в отчете формата Word (см. пример оформления).

Инструкция . Для выбора оптимальной стратегии в онлайн режиме необходимо задать размерность матрицы. Затем в новом диалоговом окне выбрать необходимые критерии и коэффициенты. Также можно вставить данные из Excel .

Примечание : Сначала, если возможно, упрощают матрицу, вычеркивая невыгодные стратегии A. Стратегии природы вычеркивать нельзя, т. к. каждое из состояний природы может наступить случайным образом, независимо от действий A .

Любую хозяйственную деятельность человека можно рассматривать как игру с природой. В широком смысле под "природой" понимается совокупность неопределенных факторов; влияющих на эффективность принимаемых решений. Безразличие природы к игре (выигрышу) к возможность получения экономистом (статистиком) дополнительной информации о ее состоянии отличают игру экономиста с природой от обычной матричной игры, в которой принимают участие два сознательных игрока.

Пример . Предприятие может выпускать 3 вида продукции А 1 , А 2 и А 3 , получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном из 4-х состояний (В 1 , В 2 , В 3 , В 4). Элементы платежной матрицы характеризуют прибыль, которую получат при выпуске i-й продукции при j-м состоянии спроса. Игра предприятия А против спроса В задана платежной матрицей:

	В 1	В 2	В 3	В 4
А 1	2	7	8	6
А 2	2	8	7	3
А 3	4	3	4	2

Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие максимизацию средней величины прибыли при любом состоянии спроса, считая его определенным. Задача сводится к игровой модели, в которой.

Решение.
Критерий максимакса .

Выбираем из (8; 8; 4) максимальный элемент max=8

Критерий Лапласа .

Выбираем из (5.75; 5; 3.25) максимальный элемент max=5.75
Вывод: выбираем стратегию N=1.

Критерий Вальда .

Выбираем из (2; 2; 2) максимальный элемент max=2
Вывод: выбираем стратегию N=1.

Критерий Севиджа .
Находим матрицу рисков.
Риск - мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b j = max(a ij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r 11 = 4 - 2 = 2; r 21 = 4 - 2 = 2; r 31 = 4 - 4 = 0;
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.
r 12 = 8 - 7 = 1; r 22 = 8 - 8 = 0; r 32 = 8 - 3 = 5;
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.
r 13 = 8 - 8 = 0; r 23 = 8 - 7 = 1; r 33 = 8 - 4 = 4;
4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.
r 14 = 6 - 6 = 0; r 24 = 6 - 3 = 3; r 34 = 6 - 2 = 4;

Результаты вычислений оформим в виде таблицы.

Выбираем из (2; 3; 5) минимальный элемент min=2
Вывод: выбираем стратегию N=1.

Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A 1 .

Этот критерий опирается на «принцип недостаточного основания» Лапласа, согласно которому все состояния «природы» Si, i = 1,n полагаются равновероятными. В соответствии с этим принципом каждому состоянию Si, ставится вероятность q i определяемая по формуле

При этом исходной может рассматриваться задача принятия решения в условиях риска, когда выбирается действие R j , дающее наибольший ожидаемый выигрыш. Для принятия решения для каждого действия R j вычисляют среднее арифметическое значение выигрыша:

(26)

Среди Mj(R) выбирают максимальное значение, которое будет соответствовать оптимальной стратегии R j .

Другими словами, находится действие Rj , соответствующее

(27)

Если в исходной задаче матрица возможных результатов представлена матрицей рисков ||r ji ||, то критерий Лапласа принимает следующий вид:

(28)

Пример 4. Одно из транспортных предприятий должно определить уровень своих провозных возможностей так, чтобы удовлетворить спрос клиентов на транспортные услуги на планируемый период. Спрос на транспортные услуги не известен, но ожидается (прогнозируется), что он может принять одно из четырех значений: 10, 15, 20 или 25 тыс. т. Для каждого уровня спроса существует наилучший уровень провозных возможностей транспортного предприятия (с точки зрения возможных затрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения провозных возможностей над спросом (из-за простоя подвижного состава), либо из-за неполного удовлетворения спроса на транспортные услуги. Ниже приводится таблица, определяющая возможные прогнозируемые затраты на развитие провозных возможностей:

Необходимо выбрать оптимальную стратегию.

Согласно условию задачи, имеются четыре варианта спроса на транспортные услуги, что равнозначно наличию четырех состояний «природы»: S 1 , S 2 , S 3 , S 4 . Известны также четыре стратегии развития провозных возможностей транспортного предприятия: R 1 , R 2 , R 3 , R 4 Затраты на развитие провозных возможностей при каждой паре S i и R j заданы следующей матрицей (таблицей):

Принцип Лапласа предполагает, что S 1 , S 2 , S 3 , S 4 равновероятны. Следовательно, P{S = S i }= 1/n= 1/4 = 0,25, i = 1, 2, 3, 4 и ожидаемые затраты при различных действиях R 1 , R 2 , R 3 , R 4 составляют:

Таким образом, наилучшей стратегией развития провозных возможностей в соответствии с критерием Лапласа будет R 2 .

2. Критерий Вальда (минимаксный или максиминный критерий). Применение данного критерия не требует знания вероятностей состояний Si. Этот критерий опирается на принцип наибольшей осторожности, поскольку он основывается на выборе наилучшей из наихудших стратегий Rj.

Если в исходной матрице (по условию задачи) результат V ij представляет потери лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется минимаксный критерий. Для определения оптимальной стратегии R j необходимо в каждой строке матрицы результатов найти наибольший элемент max{V ij }, а затем выбирается действие R j (строка j), которому будет соответствовать наименьший элемент из этих наибольших элементов, т. е. действие, определяющее результат, равный

(29)

Если в исходной матрице по условию задачи результат V ij представляет выигрыш (полезность) лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется максиминный критерий.

Для определения оптимальной стратегии R j в каждой строке матрицы результатов находят наименьший элемент min {Vij} , а затем выбирается действие R j (строка j), которому будут соответствовать наибольшие элементы из этих наименьших элементов, т. е. действие, определяющее результат, равный

(30)

Пример 5. Рассмотрим пример 4. Так как V ij в этом примере представляет потери (затраты), применим минимаксный критерий. Необходимые результаты вычисления приведены в следующей таблице:

Таким образом, наилучшей стратегией развития провозных возможностей в соответствии с минимаксным критерием «лучшим из худших» будет третья, т. е. R 3 .

Минимаксный критерий Вальда иногда приводит к нелогичным выводам из-за своей чрезмерной «пессимистичности». «Пессимистичность» этого критерия исправляет критерий Сэвиджа.

3. Критерий Сэвиджа использует матрицу рисков || r ij ||. Элементы данной матрицы можно определить по формулам (23), (24), которые перепишем в следующем виде:

(31)

Это означает, что r ij есть разность между наилучшим значением в столбце i и значениями V ji при том же i. Независимо от того, является ли V ji доходом (выигрышем) или потерями (затратами), r ji в обоих случаях определяет величину потерь лица, принимающего решение. Следовательно, можно применять к r ji только минимаксный критерий. Критерий Сэвиджа рекомендует в условиях неопределенности выбирать ту стратегию Rj, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален).

Пример 6. Рассмотрим пример 4. Заданная матрица определяет потери (затраты). По формуле (31) вычислим элементы матрицы рисков || r ij ||:

Полученные результаты вычислений с использованием критерия минимального риска Сэвиджа оформим в следующей таблице:

Введение величины риска r ji , привело к выбору первой стратегии R 1 , обеспечивающей наименьшие потери (затраты) в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален).

Применение критерия Сэвиджа позволяет любыми путями избежать большого риска при выборе стратегии, а значит, избежать большего проигрыша (потерь).

4. Критерий Гурвица основан на следующих двух предположениях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1 - α) и в самом выгодном состоянии с вероятностью α, где α - коэффициент доверия. Если результат V j i - прибыль, полезность, доход и т. п., то критерий Гурвица записывается так:

Когда V ji представляет затраты (потери), то выбирают действие, дающее

Если α = 0, получим пессимистический критерий Вальда.

Если α = 1, то приходим к решающему правилу вида max max V ji , или к так называемой стратегии «здорового оптимиста», т. е. критерий слишком оптимистичный.

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами (1 - α) и α, где 0≤α≤1. Значение α от 0 до 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или к оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности α = 0,5 представляется наиболее разумной.

Пример 7. Критерий Гурвица используем в примере 4. Положим α = 0,5. Результаты необходимых вычислений приведены ниже:

Оптимальное решение заключается в выборе W.

Таким образом, в примере предстоит сделать выбор, какое из возможных решений предпочтительнее:

по критерию Лапласа - выбор стратегии R 2 ,

по критерию Вальда - выбор стратегии R 3 ;

по критерию Сэвиджа - выбор стратегии R 1 ;

по критерию Гурвица при α = 0,5 - выбор стратегии R 1 , а если лицо, принимающее решение, - пессимист (α = 0), то выбор стратегии R 3 .

Это определяется выбором соответствующего критерия (Лапласа, Вальда, Сэвиджа или Гурвица).

Выбор критерия принятия решений в условиях неопределенности является наиболее сложным и ответственным этапом в исследовании операций. При этом не существует каких-либо общих советов или рекомендаций. Выбор критерия должно производить лицо, принимающее решение (ЛПР), с учетом конкретной специфики решаемой задачи и в соответствии со своими целями, а также опираясь на прошлый опыт и собственную интуицию.

В частности, если даже минимальный риск недопустим, то следует применять критерий Вальда. Если, наоборот, определенный риск вполне приемлем и ЛПР намерено вложить в некоторое предприятие столько средств, чтобы потом оно не сожалело, что вложено слишком мало, то выбирают критерий Сэвиджа.

В ситуации неопределенности невозможно определить вероятности наступления тех или иных последствий принимаемых решений. Поэтому критерий математического ожидания, который широко используется в ситуации риска, и для которого обязательно нужны упомянутые вероятности, здесь неприменим. Вместо него используются иные критерии.

Для выбора оптимальной стратегии в ситуации неопределенности существует два основных критерия: максимин и минимакс. Максимин называют еще критерием пессимиста или критерием Вальда , а минимакс - критерием Сэвиджа.

Критерий Вальда (Уолда) – максиминный. Этот критерий опирается на принцип наибольшей осторожности – критерий крайнего пессимизма, который основывается на выборе "из худшего – лучшее". По сути, это критерий минимакса – основной в теории игр. Согласно этому критерию природа (среда) ведет себя как разумный агрессивный противник, делающий все, чтобы помешать нам достичь успеха. Оптимальной считается та стратегия, которая гарантирует выигрыш наибольший (max) из всех наихудших (min) возможных исходов действия по каждой стратегии – уровень безопасности:

Выбранная таким образом оптимальная по критерию Вальда стратегия называется максиминной, а величина W – максимином.

Критерий Сэвиджа – минимаксного риска . Критерий предполагает предварительное составление так называемой матрицы "рисков" (потерь, сожалений). В теории статистических решений риском rij при пользовании стратегией Qi в условиях Gj называется разность между выигрышем, который мог бы быть получен, если бы были известны условия Gj, и выигрышем, который будет получен, не зная их и выбирая стратегию Qi:

Минимакс ориентирован не столько на минимизацию потерь, сколько на минимизацию сожалений по поводу упущенной прибыли. Он допускает разумный риск ради получения дополнительной прибыли. Пользоваться этим критерием для выбора стратегии поведения в ситуации неопределенности можно лишь тогда, когда есть уверенность в том, что случайный убыток не приведет фирму к полному краху

Критерий произведений

Высокодоходные акции редко бывают достаточно надежными, а самые надежные высокодоходными. Поэтому при покупке акций всегда приходится выбирать между их доходностью и их надежностью и как-то увязывать их между собой. Такая проблема всегда встает при любом инвестиционном проекте. Если известны вероятности сохранения или потери инвестиций, то эта проблема решается с помощью критерия математического ожидания. Если их нет, приходится обращаться к другими критериям. Одним из таких критериев является критерий произведений. Он позволяет выбрать такой проект, который бы был наиболее доходным и в то же время наименее рискованным. Критерий произведений рассчитывается по формуле:

Критерий произведений способен работать на минимуме информации.

Пример решения задачи

Предположим, что в условиях колебания спроса G j = {3000, 6000, 9000,12000} у торгового предприятия существуют три стратегии сбыта какого-либо товара: Q п (1) = 6000 шт; Q п (2) = 9000 шт; Q п (3) = 12000 шт. по цене реализации C р = 70 руб. при цене покупки C п = 30 руб. и средних издержках И = 10руб./шт.

В соответствии с ресурсными возможностями торгового предприятия рассчитаем варианты среднегодовой прибыли по формуле (1), а результаты сведем в таблице 3.

Таблица 3 - Матрица выигрышей (прибылей) коммерческих стратегий при неопределенной рыночной конъюнктуре

1. Критерий Вальда. Для определения оптимальной стратегии по критерию наибольшей осторожности дополним табл. 3 столбцом 6 справа, укажем для каждой строки минимум прибыли и выберем ту стратегию, при которой минимум строки максимален (см. табл. 4).

Таблица 4 - Сводная матрица прибылей

2. Критерий Гурвица. Пусть показатель пессимизма λ определен λ = 0,4.

Для вычисления значений стратегий по критерию взвешенной (разумной) осторожности в дополнительном столбце 7 табл. 4 найдем максимальные значения для каждой строки. Тогда:

Максимальное значение соответствует двум стратегиям закупки Q п (1) и Q п (2) .

3. Критерий Лапласа. Исходя из принципа равновероятности состояний природы найдем средние значения "выигрышей"– прибылей для каждой стратегии:

По критерию усреднения выигрышей Лапласа наилучшей является стратегия закупки Q п (2)

4. Критерий Байеса-Лапласа. Для определения оптимальной стратегии по критерию средневзвешенной оценки выигрышей необходимо знать распределение вероятностей спроса. Пусть из прошлого опыта или экспертным путем такие вероятности определены (нижняя строка в табл. 4).

Тогда оценки по критерию для каждой стратегии составят:

Максимальное значение соответствует стратегии Q п (2) .

Таблица 5 - Матрица рисков коммерческих стратегий

5. Критерий Сэвиджа. Перейдем от матрицы выигрышей к матрице рисков (табл. 5). Для этого предварительно укажем в дополнительной строке таблицы максимально возможные выигрыши по каждому состоянию природы (предпоследняя строка) и затем рассчитаем соответствующие риски r i j = max П i j – П i j

для заполнения матрицы рисков (табл. 5). Исходя из принципа наибольшей осторожности, находим максимальные значения рисков по строкам и из них выбираем стратегии Q п (1) и Q п (2) с минимальным значением максимально возможного риска. Перенесем полученные значения в табл. 4 для подведения итогов выбора.

Итак, конкурирующими оказались стратегии Q п (1) и Q п (2) (выбор стратегии Q п (3) по критерию Гурвица вызван, скорее всего, излишним оптимизмом при выборе показателя λ). Стратегия Q п (1) выбрана по критериям Вальда, Лапласа и Сэвиджа, стратегия Q п (2) – по критериям Лапласа, Байеса-Лапласа и Сэвиджа.

Предпочтение той или иной стратегии выбирается лучшей по большинству критериев. Но в нашем случае две стратегии Q п (1) и Q п (2) равнозначны в этом смысле.

Задача по вариантами:

Таблица 6 - Матрица прибылей коммерческих стратегий при неопределенной рыночной конъюнктуре

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Критерий Вальда

Критерий Вальда является самым "осторожным". Согласно ему, оптимальной альтернативой будет та, которая обеспечивает наилучший исход среди всех возможных альтернатив при самом плохом стечении обстоятельств.

Если исходы отражают подлежащие минимизации показатели (убытки, расходы, потери и т.д.), то критерий Вальда ориентируется на "минимакс" (минимум среди максимальных значений потерь всех альтернатив).

Если в качестве исходов альтернатив фигурируют показатели прибыли, дохода и других показателей, которые надо максимизировать (по принципу "чем больше, тем лучше"), то ищется "максимин" выигрыша (максимум среди минимальных выигрышей). Здесь и далее для всех критериев в тексте мы будем рассматривать именно такой случай, когда исход показывает некий выигрыш.

По критерию Вальда оценкой i-й альтернативы является ее наименьший выигрыш:

W i = min(x ij), j = 1..M

Оптимальной признается альтернатива с максимальным наихудшим выигрышем:

Х* = Х k , W k = max(W i), i = 1..N

Пример применения критерия Вальда

Есть два проекта Х 1 и Х 2 , которые при трех возможных сценариях развития региона (j=1..3) обеспечивают разную прибыль. Значения прибыли приведены в таблице 2. Необходимо выбрать проект для реализации.

Табл.2. Исходные данные.

Среди возможных проектов нет доминирующих ни абсолютно, ни по состояниям. Поэтому решение придется принимать по критериям.

Если выбор оптимального проекта осуществляется по критерию Вальда, то ЛПР должен выполнить следующие действия:

1. Найти минимальные исходы для каждой альтернативы. Это и будут значения критерия Вальда:

W 1 = min(x 1j), j = 1..3 => W 1 = min(45, 25, 50) = 25

W 2 = min(x 2j), j = 1..3 => W 2 = min(20, 60, 25) = 20

2. Сравнить значения критерия Вальда и найти наибольшую величину. Альтернатива с максимальным значением критерия будет считаться оптимальной:

25 > 20 => W 1 > W 2 => X* = X 1

Если бы решение принималось только по критерию Вальда, ЛПР выбрал для реализации проект Х 1 , поскольку прибыль, которую обеспечит данный проект при самом плохом развитии ситуации, выше.

Выбрав оптимальную альтернативу по критерию Вальда, ЛПР гарантирует себе, что при самом плохом стечении обстоятельств он не получит меньше, чем значение критерия. Поэтому данный показатель еще называют критерием гарантированного результата .

Основной проблемой критерия Вальда является его излишняя пессимистичность, и, как следствие, не всегда логичный результат. Так, например, при выборе по данному критерию между альтернативами А{100; 500} и В{90; 1000} следует остановиться на варианте А. Однако в жизни логичнее было бы выбрать В, так как в худшем случае В лишь немного хуже А, тогда как при хорошем стечении обстоятельств В обеспечивает гораздо больший выигрыш.

2. Критерий "максимакса"

Диаметральной противоположностью критерия Вальда является так называемый критерий "максимакса". Если Вальд отражал взгляд предельного пессимиста, то "максимакс" соответствует отношению крайнего оптимизма. Все внимание уделяется только наилучшим исходам, поэтому оценкой i-й альтернативы по данному критерию является ее наибольший выигрыш М i:

М i = mах(x ij), j = 1..M

Оптимальной считается альтернатива с максимальным наибольшим выигрышем:

Х* = Х k , М k = max(М i), i = 1..N

Пример применения критерия "максимакса"

В условиях примера из п. 1 (табл.2) действия ЛПР, использующего критерий "максимакса" для принятия решения, будут следующие:

1. Найти максимальные исходы для каждой альтернативы:

М 1 = max(x 1j), j = 1..3 =>М 1 = max(45, 25, 50) = 50

М 2 = max(x 2j), j = 1..3 =>М 2 = max(20, 60, 25) = 60

2. Сравнить найденные значения и определить альтернативу с максимальной величиной критерия:

50 < 60 => М 1 < М 2 => X* = X 2

По критерию "максимакса" оптимальным является проект Х 2 ., который может обеспечить наибольшую прибыль при наилучшем стечении обстоятельств.

Критерий "максимакса" не учитывает никакие иные исходы, кроме самых лучших. Поэтому его применение, во-первых, может быть весьма опасным, и, во-вторых, также как и критерий Вальда он может приводить к нелогичным решениям. Например, среди альтернатив А{-100; 0; 500} и В{200; 300; 400} с позиции "максимакса" лучшей является А, однако она несет в себе и опасность убытков (-100), и вообще все исходы, кроме лучшего намного уступают В. Поэтому практическое применение критерия "максимакса" весьма

Критерий Лапласа

Критерий Лапласа основан на принципе недостаточного обоснования . Поскольку в рамках информационного подхода в ситуации неопределенности вероятности состояний неизвестны, то нет оснований утверждать, что они различны. Поэтому можно допустить, что они одинаковы.

По критерию Лапласа в качестве оценки альтернативы используется средний выигрыш:

Оптимальной является альтернатива с максимальным средним выигрышем:

Х* = Х k , L k = max(L i), i = 1..N