Рациональные неравенства — Гипермаркет знаний. Системы рациональных неравенств
Предварительные сведения
Определение 1
Неравенство вида $f(x) >(≥)g(x)$, в котором $f(x)$ и $g(x)$ будут являться целыми рациональными выражениями, называется целым рациональным неравенством.
Примерами целых рациональных неравенств являются линейные, квадратные, кубические неравенства с двумя переменными.
Определение 2
Значение $x$, при котором выполняется неравенство из определения $1$, называется корнем уравнения.
Пример решения таких неравенств:
Пример 1
Решить целое неравенство $4x+3 >38-x$.
Решение.
Упростим данное неравенство:
Получили линейное неравенство. Найдем его решение:
Ответ: $(7,∞)$.
В данной статье мы рассмотрим следующие способы решения целых рациональных неравенств.
Способ разложения на множители
Данный способ будет заключаться в следующем: Записывается уравнение вида $f(x)=g(x)$. Данное уравнение приводится к виду $φ(x)=0$ (где $φ(x)=f(x)-g(x)$). Затем функция $φ(x)$ раскладывается на множители с минимально возможными степенями. Применяется правило: Произведение многочленов равняется нулю, когда один из них равняется нулю. Далее найденные корни отмечаются на числовой прямой и строится кривая знаков. В зависимости от знака начального неравенства записывается ответ.
Приведем примеры решения этим способом:
Пример 2
Решить разложением на множители. $y^2-9
Решение.
Решим уравнение $y^2-9
Используя формулу разности квадратов, имеем
Используя правило равенства нулю произведения множителей, получим следующие корни: $3$ и $-3$.
Изобразим кривую знаков:
Так как в начальном неравенстве знак «меньше», то получаем
Ответ: $(-3,3)$.
Пример 3
Решить разложением на множители.
$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$
Решение.
Решим следующее уравнение:
$x^3+3x+2x^2+6=0$
Вынесем за скобки общие множители из первых двух слагаемым и из последних двух
$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$
Вынесем общий множитель $(x^2+3)$
$(x^2+3)(x+2)=0$
Используя правило равенства нулю произведения множителей, получим:
$x+2=0 \ и \ x^2+3=0$
$x=-2$ и "корней нет"
Изобразим кривую знаков:
Так как в начальном неравенстве знак «больше или равно», то получаем
Ответ: $(-∞,-2]$.
Способ введения новой переменной
Такой способ состоит в следующем: Записывается уравнение вида $f(x)=g(x)$. Решаем его следующим образом: введем такую новую переменную, чтобы получить уравнение, способ решения которого уже известен. Его, впоследствии, решаем и возвращаемся к замене. Из нее и найдем решение первого уравнения. Далее найденные корни отмечаются на числовой прямой и строится кривая знаков. В зависимости от знака начального неравенства записывается ответ.
Приведем пример применения этого способа на примере неравенства четвертой степени:
Пример 4
Решим неравенство.
$x^4+4x^2-21 >0$
Решение.
Решим уравнение:
Сделаем следующую замену:
Пусть $x^2=u (где \ u >0)$, получаем:
Будем решать эту систему с помощью дискриминанта:
$D=16+84=100=10^2$
Уравнение имеет два корня:
$x=\frac{-4-10}{2}=-7$ и $x=\frac{-4+10}{2}=3$
Вернемся к замене:
$x^2=-7$ и $x^2=3$
Первое уравнение не имеет решений, а из второго $x=\sqrt{3}$ и $x=-\sqrt{3}$
Изобразим кривую знаков:
Так как в начальном неравенстве знак «больше», то получаем
Ответ: $(-∞,-\sqrt{3})∪(\sqrt{3},∞)$
Продолжаем разбирать способы решения неравенств, имеющих в составе одну переменную. Мы уже изучили линейные и квадратные неравенства, которые представляют из себя частные случаи рациональных неравенств. В этой статье мы уточним, неравенства какого типа относятся к рациональным, расскажем, на какие виды они делятся (целые и дробные). После этого покажем, как правильно их решать, приведем нужные алгоритмы и разберем конкретные задачи.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Понятие рациональных равенств
Когда в школе изучают тему решения неравенств, то сразу берут рациональные неравенства. На них приобретаются и оттачиваются навыки работы с этим видом выражений. Сформулируем определение данного понятия:
Определение 1
Рациональное неравенство представляет из себя такое неравенство с переменными, которое содержит в обоих частях рациональные выражения.
Отметим, что определение никак не затрагивает вопрос количества переменных, значит, их может быть сколь угодно много. Следовательно, возможны рациональные неравенства с 1 , 2 , 3 и более переменными. Чаще всего приходится иметь дело с выражениями, содержащими всего одну переменную, реже две, а неравенства с большим количеством переменных обычно в рамках школьного курса не рассматривают вовсе.
Таким образом, мы можем узнать рациональное неравенство, посмотрев на его запись. И с правой, и с левой стороны у него должны быть расположены рациональные выражения. Приведем примеры:
x > 4 x 3 + 2 · y ≤ 5 · (y − 1) · (x 2 + 1) 2 · x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 · x 2
А вот неравенство вида 5 + x + 1 < x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Все рациональные неравенства делятся на целые и дробные.
Определение 2
Целое рациональное равенство состоит из целых рациональных выражений (в обеих частях).
Определение 3
Дробно рациональное равенство – это такое равенство, которое содержит дробное выражение в одной или обеих своих частях.
Например, неравенства вида 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 · 1 3 · x - 1 > 4 - x 4 и 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 являются дробно рациональными, а 0 , 5 · x ≤ 3 · (2 − 5 · y) и 1: x + 3 > 0 – целыми.
Мы разобрали, что из себя представляют рациональные неравенства, и выделили их основные типы. Можем переходить дальше, к обзору способов их решения.
Допустим, что нам требуется найти решения целого рационального неравенства r (x) < s (x) , которое включает в себя только одну переменную x . При этом r (x) и s (x) представляют собой любые целые рациональные числа или выражения, а знак неравенства может отличаться. Чтобы решить это задание, нам нужно преобразовать его и получить равносильное равенство.
Начнем с перенесения выражения из правой части в левую. Получим следующее:
вида r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥)
Мы знаем, что r (x) − s (x) будет целым значением, а любое целое выражение допустимо преобразовать в многочлен. Преобразуем r (x) − s (x) в h (x) . Это выражение будет тождественно равным многочленом. Учитывая, что у r (x) − s (x) и h (x) область допустимых значений x одинакова, мы можем перейти к неравенствам h (x) < 0 (≤ , > , ≥) , которое будет равносильно исходному.
Зачастую такого простого преобразования будет достаточно для решения неравенства, поскольку в итоге может получиться линейное или квадратное неравенство, значение которого вычислить несложно. Разберем такие задачи.
Пример 1
Условие: решите целое рациональное неравенство x · (x + 3) + 2 · x ≤ (x + 1) 2 + 1 .
Решение
Начнем с переноса выражения из правой части в левую с противоположным знаком.
x · (x + 3) + 2 · x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0
Теперь, когда мы выполнили все действия с многочленами слева, можно переходить к линейному неравенству 3 · x − 2 ≤ 0 , равносильному тому, что было дано в условии. Решить его несложно:
3 · x ≤ 2 x ≤ 2 3
Ответ: x ≤ 2 3 .
Пример 2
Условие: найдите решение неравенства (x 2 + 1) 2 − 3 · x 2 > (x 2 − x) · (x 2 + x) .
Решение
Переносим выражение из левой части в правую и выполняем дальнейшие преобразования с помощью формул сокращенного умножения.
(x 2 + 1) 2 − 3 · x 2 − (x 2 − x) · (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 · x 2 + 1 − 3 · x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0
В итоге наших преобразований мы получили неравенство, которое будет верным при любых значениях x , следовательно, решением исходного неравенства может быть любое действительное число.
Ответ: любое действительно число.
Пример 3
Условие: решите неравенство x + 6 + 2 · x 3 − 2 · x · (x 2 + x − 5) > 0 .
Решение
Из правой части мы ничего переносить не будем, поскольку там 0 . Начнем сразу с преобразования левой части в многочлен:
x + 6 + 2 · x 3 − 2 · x 3 − 2 · x 2 + 10 · x > 0 − 2 · x 2 + 11 · x + 6 > 0 .
Мы вывели квадратное неравенство, равносильное исходному, которое легко решить несколькими методами. Применим графический способ.
Начнем с вычисления корней квадратного трехчлена − 2 · x 2 + 11 · x + 6 :
D = 11 2 - 4 · (- 2) · 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 · - 2 , x 2 = - 11 - 169 2 · - 2 x 1 = - 0 , 5 , x 2 = 6
Теперь на схеме отметим все необходимые нули. Поскольку старший коэффициент меньше нуля, ветви параболы на графике будут смотреть вниз.
Нам будет нужна область параболы, расположенная над осью абсцисс, поскольку в неравенстве у нас стоит знак > . Нужный интервал равен (− 0 , 5 , 6) , следовательно, эта область значений и будет нужным нам решением.
Ответ: (− 0 , 5 , 6) .
Бывают и более сложные случаи, когда слева получается многочлен третьей или более высокой степени. Чтобы решить такое неравенство, рекомендуется использовать метод интервалов. Сначала мы вычисляем все корни многочлена h (x) , что чаще всего делается с помощью разложения многочлена на множители.
Пример 4
Условие: вычислите (x 2 + 2) · (x + 4) < 14 − 9 · x .
Решение
Начнем, как всегда, с переноса выражения в левую часть, после чего нужно будет выполнить раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.
(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0
В итоге преобразований у нас получилось равносильное исходному равенство, слева у которого стоит многочлен третьей степени. Применим метод интервалов для его решения.
Сначала вычисляем корни многочлена, для чего нам надо решить кубическое уравнение x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 = 0 . Имеет ли оно рациональные корни? Они могут быть лишь в числе делителей свободного члена, т.е. среди чисел ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Подставим их по очереди в исходное уравнение и выясним, что числа 1 , 2 и 3 будут его корнями.
Значит, многочлен x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 может быть описан в виде произведения (x − 1) · (x − 2) · (x − 3) , и неравенство x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0 может быть представлено как (x − 1) · (x − 2) · (x − 3) < 0 . С неравенством такого вида нам потом будет легче определить знаки на промежутках.
Далее выполняем оставшиеся шаги интервального метода: рисуем числовую прямую и точки на ней с координатами 1 , 2 , 3 . Они разбивают прямую на 4 промежутка, в которых нужно определить знаки. Заштрихуем промежутки с минусом, поскольку исходное неравенство имеет знак < .
Нам осталось только записать готовый ответ: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Ответ: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
В некоторых случаях выполнять переход от неравенства r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥) к h (x) < 0 (≤ , > , ≥) , где h (x) – многочлен в степени выше 2 , нецелесообразно. Это распространяется на те случаи, когда представить r (x) − s (x) как произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов проще, чем разложить h (x) на отдельные множители. Разберем такую задачу.
Пример 5
Условие: найдите решение неравенства (x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 19) ≥ 2 · x · (x 2 − 2 · x − 1) .
Решение
Данное неравенство относится к целым. Если мы перенесем выражение из правой части влево, раскроем скобки и выполним приведение слагаемых, то получим x 4 − 4 · x 3 − 16 · x 2 + 40 · x + 19 ≥ 0 .
Решить такое неравенство непросто, поскольку придется искать корни многочлена четвертой степени. Оно не имеет ни одного рационального корня (так, 1 , − 1 , 19 или − 19 не подходят), а искать другие корни сложно. Значит, воспользоваться этим способом мы не можем.
Но есть и другие способы решения. Если мы перенесем выражения из правой части исходного неравенства в левую, то сможем выполнить вынесение за скобки общего множителя x 2 − 2 · x − 1:
(x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 19) − 2 · x · (x 2 − 2 · x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .
Мы получили неравенство, равносильное исходному, и его решение даст нам искомый ответ. Найдем нули выражения в левой части, для чего решим квадратные уравнения x 2 − 2 · x − 1 = 0 и x 2 − 2 · x − 19 = 0 . Их корни – 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Переходим к равенству x - 1 + 2 · x - 1 - 2 · x - 1 + 2 5 · x - 1 - 2 5 ≥ 0 , которое можно решить методом интервалов:
Согласно рисунку, ответом будет - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Ответ: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Добавим, что иногда нет возможности найти все корни многочлена h (x) , следовательно, мы не можем представить его в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов. Тогда решить неравенство вида h (x) < 0 (≤ , > , ≥) мы не можем, значит, решить исходное рациональное неравенство тоже нельзя.
Допустим, надо решить дробно рационально неравенств вида r (x) < s (x) (≤ , > , ≥) , где r (x) и s (x) являются рациональными выражениями, x – переменной. Хотя бы одно из указанных выражений будет дробным. Алгоритм решения в этом случае будет таким:
- Определяем область допустимых значений переменной x .
- Переносим выражение из правой части неравенства налево, а получившееся выражение r (x) − s (x) представляем в виде дроби. При этом где p (x) и q (x) будут целыми выражениями, которые являются произведениями линейных двучленов, неразложимых квадратных трехчленов, а также степеней с натуральным показателем.
- Далее решаем полученное неравенство методом интервалов.
- Последним шагом является исключение точек, полученных в ходе решения, из области допустимых значений переменной x , которую мы определили в начале.
Это и есть алгоритм решения дробно рационального неравенства. Большая часть его понятна, небольшие пояснения требуются только для п. 2 . Мы перенесли выражение из правой части налево и получили r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥) , а как потом привести его к виду p (x) q (x) < 0 (≤ , > , ≥) ?
Сначала определим, всегда ли можно выполнить данное преобразование. Теоретически, такая возможность имеется всегда, поскольку в рациональную дробь можно преобразовать любое рациональное выражение. Здесь же у нас есть дробь с многочленами в числителе и знаменателе. Вспомним основную теорему алгебры и теорему Безу и определим, что любой многочлен n -ной степени, содержащий одну переменную, может быть преобразован в произведение линейных двучленов. Следовательно, в теории мы всегда можем преобразовать выражение таким образом.
На практике разложение многочленов на множители зачастую оказывается довольно трудной задачей, особенно если степень выше 4 . Если мы не сможем выполнить разложение, то не сможем и решить данное неравенство, однако в рамках школьного курса такие проблемы обычно не изучаются.
Далее нам надо решить, будет ли полученное неравенство p (x) q (x) < 0 (≤ , > , ≥) равносильным по отношению к r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥) и к исходному. Есть вероятность, что оно может оказаться и неравносильным.
Равносильность неравенства будет обеспечена тогда, когда область допустимых значений p (x) q (x) совпадет с областью значений выражения r (x) − s (x) . Тогда последний пункт инструкции по решению дробно рациональных неравенств выполнять не нужно.
Но область значений для p (x) q (x) может оказаться шире, чем у r (x) − s (x) , например, за счет сокращения дробей. Примером может быть переход от x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 к x · x - 1 x + 3 . Либо это может происходить при приведении подобных слагаемых, например, здесь:
x + 5 x - 2 2 · x - x + 5 x - 2 2 · x + 1 x + 3 к 1 x + 3
Для таких случаев и добавлен последний шаг алгоритма. Выполнив его, вы избавитесь от посторонних значений переменной, которые возникают из-за расширения области допустимых значений. Возьмем несколько примеров, чтобы было более понятно, о чем идет речь.
Пример 6
Условие: найдите решения рационального равенства x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .
Решение
Действуем по алгоритму, указанному выше. Сначала определяем область допустимых значений. В данном случае она определяется системой неравенств x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 , решением которой будет множество (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
x x + 1 · x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) ≥ 0
После этого нам нужно преобразовать его так, чтобы было удобно применить метод интервалов. Первым делом приводим алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю (x − 3) 2 · (x + 1) :
x x + 1 · x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) = = x · x - 3 + 4 · x + 1 + 3 · x x - 3 2 · x + 1 = x 2 + 4 · x + 4 (x - 3) 2 · (x + 1)
Сворачиваем выражение в числителе, применяя формулу квадрата суммы:
x 2 + 4 · x + 4 x - 3 2 · x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 · x + 1
Областью допустимых значений получившегося выражения является (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Мы видим, что она аналогична той, что была определена для исходного равенства. Заключаем, что неравенство x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 является равносильным исходному, значит, последний шаг алгоритма нам не нужен.
Используем метод интервалов:
Видим решение { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) , которое и будет решением исходного рационального неравенства x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) .
Ответ: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
Пример 7
Условие: вычислите решение x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 · x + 2 x 2 - 1 .
Решение
Определяем область допустимых значений. В случае с этим неравенством она будет равна всем действительным числам, кроме − 2 , − 1 , 0 и 1 .
Переносим выражения из правой части в левую:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 > 0
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0
Учитывая получившийся результат, запишем:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 (x + 1) · x - 1 = = - x - 1 (x + 1) · x - 1 = - x + 1 (x + 1) · x - 1 = - 1 x - 1
Для выражения - 1 x - 1 областью допустимых значений будет множество всех действительных чисел, за исключением единицы. Мы видим, что область значений расширилась: в нее были добавлены − 2 , − 1 и 0 . Значит, нам нужно выполнить последний шаг алгоритма.
Поскольку мы пришли к неравенству - 1 x - 1 > 0 , можем записать равносильное ему 1 x - 1 < 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .
Исключаем точки, которые не входят в область допустимых значений исходного равенства. Нам надо исключить из (− ∞ , 1) числа − 2 , − 1 и 0 . Таким образом, решением рационального неравенства x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 · x + 2 x 2 - 1 будут значения (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Ответ: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
В заключение приведем еще один пример задачи, в котором окончательный ответ зависит от области допустимых значений.
Пример 8
Условие: найдите решение неравенства 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 .
Решение
Область допустимых значений неравенства, заданного в условии, определяет система x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0 .
Решений у этой системы нет, поскольку
x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) · x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) · x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0
Значит, исходное равенство 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 не имеет решения, поскольку нет таких значений переменной, при которой оно имело бы смысл.
Ответ: решений нет.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Продолжаем углубляться в тему «решение неравенств с одной переменной». Нам уже знакомы линейные неравенства и квадратные неравенства . Они являются частными случаями рациональных неравенств , изучением которых мы сейчас и займемся. Начнем с того, что выясним, неравенства какого вида называются рациональными. Дальше разберемся с их подразделением на целые рациональные и дробные рациональные неравенства. А уже после этого будем изучать, как проводится решение рациональных неравенств с одной переменной, запишем соответствующие алгоритмы и рассмотрим решения характерных примеров с детальными пояснениями.
Навигация по странице.
Что такое рациональные неравенства?
В школе на уроках алгебры, как только заходит разговор про решение неравенств, так сразу же и происходит встреча с рациональными неравенствами. Однако сначала их не называют своим именем, так как на этом этапе виды неравенств представляют мало интереса, а основная цель состоит в получении начальных навыков работы с неравенствами. Сам термин «рациональное неравенство» вводится позже в 9 классе, когда начинается детальное изучение неравенств именно этого вида.
Давайте узнаем, что такое рациональные неравенства. Вот определение:
В озвученном определении ничего не сказано о числе переменных, значит, допускается любое их количество. В зависимости от этого различают рациональные неравенства с одной, двумя и т.д. переменными. Кстати, в учебнике дается подобное определение, но для рациональных неравенств с одной переменной. Это и понятно, так как в школе основное внимание уделяется решению неравенств с одной переменной (ниже мы тоже будем говорить лишь о решении рациональных неравенств с одной переменной). Неравенства с двумя переменными рассматривают мало, а неравенствам с тремя и большим числом переменных практически вообще не уделяют внимания.
Итак, рациональное неравенство можно распознать по его записи, для этого достаточно взглянуть на выражения в его левой и правой части и убедиться, что они являются рациональными выражениями. Эти соображения позволяют привести примеры рациональных неравенств. Например, x>4
, x 3 +2·y≤5·(y−1)·(x 2 +1)
, - это рациональные неравенства. А неравенство 
не является рациональным, так как его левая часть содержит переменную под знаком корня, а, значит, не является рациональным выражением. Неравенство тоже не рациональное, так как обе его части не являются рациональными выражениями.
Для удобства дальнейшего описания введем подразделение рациональных неравенств на целые и дробные.
Определение.
Рациональное неравенство будем называть целым , если обе его части – целые рациональные выражения.
Определение.
Дробно рациональное неравенство – это рациональное неравенство, хотя бы одна часть которого – дробное выражение.
Так 0,5·x≤3·(2−5·y)
, 
- целые неравенства, а 1:x+3>0
и 
- дробно рациональные.
Теперь мы имеем четкое понимание, что представляют собой рациональные неравенства, и можно смело начинать разбираться с принципами решения целых и дробно рациональных неравенств с одной переменной.
Решение целых неравенств
Поставим перед собой задачу: пусть нам надо решить целое рациональное неравенство с одной переменной x вида r(x)
Перенесем выражение из правой части в левую, что нас приведет к равносильному неравенству вида r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) с нулем справа. Очевидно, что выражение r(x)−s(x) , образовавшееся в левой части, тоже целое, а известно, что можно любое . Преобразовав выражение r(x)−s(x) в тождественно равный ему многочлен h(x) (здесь заметим, что выражения r(x)−s(x) и h(x) имеют одинаковую переменной x ), мы перейдем к равносильному неравенству h(x)<0 (≤, >, ≥).
В простейших случаях проделанных преобразований будет достаточно, чтобы получить искомое решение, так как они приведут нас от исходного целого рационального неравенства к неравенству, которое мы умеем решать, например, к линейному или квадратному. Рассмотрим примеры.
Пример.
Найдите решение целого рационального неравенства x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 .
Решение.
Сначала переносим выражение из правой части в левую: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0
. Выполнив все в левой части, приходим к линейному неравенству 3·x−2≤0
, которое равносильно исходному целому неравенству. Его решение не представляет сложности:
3·x≤2
,
x≤2/3
.
Ответ:
x≤2/3 .
Пример.
Решите неравенство (x 2 +1) 2 −3·x 2 >(x 2 −x)·(x 2 +x) .
Решение.
Начинаем как обычно с переноса выражения из правой части, а дальше выполняем преобразования в левой части, используя :
(x 2 +1) 2 −3·x 2 −(x 2 −x)·(x 2 +x)>0
,
x 4 +2·x 2 +1−3·x 2 −x 4 +x 2 >0
,
1>0
.
Так, выполняя равносильные преобразования, мы пришли к неравенству 1>0 , которое верно при любых значениях переменной x . А это означает, что решением исходного целого неравенства является любое действительное число.
Ответ:
x - любое.
Пример.
Выполните решение неравенства x+6+2·x 3 −2·x·(x 2 +x−5)>0 .
Решение.
В правой части нуль, так что из нее ничего переносить не нужно. Преобразуем целое выражение, находящееся в левой части, в многочлен:
x+6+2·x 3 −2·x 3 −2·x 2 +10·x>0
,
−2·x 2 +11·x+6>0
.
Получили квадратное неравенство, которое равносильно исходному неравенству. Решаем его любым известным нам методом. Проведем решение квадратного неравенства графическим способом .
Находим корни квадратного трехчлена −2·x 2 +11·x+6
:
Делаем схематический чертеж, на котором отмечаем найденные нули, и учитываем, что ветви параболы направлены вниз, так как старший коэффициент отрицательный:
Так как мы решаем неравенство со знаком >, то нас интересуют промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс. Это имеет место на интервале (−0,5, 6) , он и является искомым решением.
Ответ:
(−0,5, 6) .
В более сложных случаях в левой части полученного неравенства h(x)<0 (≤, >, ≥) будет многочлен третьей или более высокой степени. Для решения таких неравенств подходит метод интервалов , на первом шаге которого нужно будет найти все корни многочлена h(x) , что частенько делается через .
Пример.
Найдите решение целого рационального неравенства (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .
Решение.
Перенесем все в левую часть, после чего там и :
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0
,
x 3 +4·x 2 +2·x+8−14+9·x<0
,
x 3 +4·x 2 +11·x−6<0
.
Проделанные манипуляции приводят нас к неравенству, которое равносильно исходному. В его левой части многочлен третьей степени. Решить его можно методом интервалов. Для этого в первую очередь надо найти корни многочлена, что упирается в x 3 +4·x 2 +11·x−6=0 . Выясним, имеет ли оно рациональные корни, которые могут быть лишь среди делителей свободного члена, то есть, среди чисел ±1 , ±2 , ±3 , ±6 . Подставляя по очереди эти числа вместо переменной x в уравнение x 3 +4·x 2 +11·x−6=0 , выясняем, что корнями уравнения являются числа 1 , 2 и 3 . Это позволяет представить многочлен x 3 +4·x 2 +11·x−6 в виде произведения (x−1)·(x−2)·(x−3) , а неравенство x 3 +4·x 2 +11·x−6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.
А дальше остается выполнить стандартные шаги метода интервалов: отметить на числовой прямой точки с координатами 1
, 2
и 3
, которые разбивают эту прямую на четыре промежутка, определить и расставить знаки, изобразить штриховку над промежутками со знаком минус (так как мы решаем неравенство со знаком <) и записать ответ.
Откуда имеем (−∞, 1)∪(2, 3) .
Ответ:
(−∞, 1)∪(2, 3) .
Следует отметить, что иногда нецелесообразно от неравенства r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) переходить к неравенству h(x)<0 (≤, >, ≥), где h(x) – многочлен степени выше второй. Это касается тех случаев, когда сложнее разложить многочлен h(x) на множители, чем представить выражение r(x)−s(x) в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов, например, путем вынесения за скобки общего множителя. Поясним это на примере.
Пример.
Решите неравенство (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1) .
Решение.
Это целое неравенство. Если перенести выражение из его правой части в левую, после чего раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится неравенство x 4 −4·x 3 −16·x 2 +40·x+19≥0 . Решить его очень непросто, так как это предполагает поиск корней многочлена четвертой степени. Несложно проверить, что рациональных корней он не имеет (ими могли бы быть числа 1 , −1 , 19 или −19 ), а другие его корни искать проблематично. Поэтому этот путь тупиковый.
Давайте поищем другие возможности решения. Несложно заметить, что после переноса выражения из правой части исходного целого неравенства в левую, можно вынести за скобки общий множитель x 2 −2·x−1
:
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0
,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0
.
Проделанное преобразование является равносильным, поэтому решение полученного неравенства будет решением и исходного неравенства.
А теперь мы можем найти нули выражения, находящегося в левой части полученного неравенства, для этого надо x 2 −2·x−1=0
и x 2 −2·x−19=0
. Их корнями являются числа 
. Это позволяет перейти к равносильному неравенству , а его мы можем решить методом интервалов:
По чертежу записываем ответ .
Ответ:
В заключение этого пункта хочется лишь добавить, что далеко не всегда есть возможность найти все корни многочлена h(x) , и как следствие разложить его в произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов. В этих случаях нет возможности решить неравенство h(x)<0 (≤, >, ≥), а значит, нет возможности найти решение исходного целого рационального уравнения.
Решение дробно рациональных неравенств
Теперь займемся решением такой задачи: пусть требуется решить дробно рациональное неравенство с одной переменной x
вида r(x)
Алгоритм решения дробно рационального неравенства
с одной переменной r(x)
- Сначала надо найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной x для исходного неравенства.
- Дальше нужно перенести выражение из правой части неравенства в левую, и образовавшееся там выражение r(x)−s(x) преобразовать к виду дроби p(x)/q(x) , где p(x) и q(x) – целые выражения, представляющие собой произведения линейных двучленов, неразложимых квадратных трехчленов и их степеней с натуральным показателем.
- Дальше надо решить полученное неравенство методом интервалов.
- Наконец, из полученного на предыдущем шаге решения нужно исключить точки, не входящие в ОДЗ переменной x для исходного неравенства, которая была найдена на первом шаге.
Так будет получено искомое решение дробно рационального неравенства.
Пояснений требует второй шаг алгоритма. Перенос выражения из правой части неравенства в левую дает неравенство r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), которое равносильно исходному. Здесь все понятно. А вот вопросы вызывает дальнейшее его преобразование к виду p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).
Первый вопрос: «Всегда ли его возможно провести»? Теоретически, да. Мы знаем, что можно любое . В числителе и знаменателе рациональной дроби находятся многочлены. А из основной теоремы алгебры и теоремы Безу следует, что любой многочлен степени n с одной переменной можно представить в виде произведения линейных двучленов. Это и объясняет возможность проведения указанного преобразования.
На практике же довольно сложно раскладывать многочлены на множители, а если их степень выше четвертой, то и не всегда возможно. Если разложение на множители невозможно, то не будет и возможности найти решение исходного неравенства, но в школе такие случаи обычно не встречаются.
Второй вопрос: «Будет ли неравенство p(x)/q(x)<0
(≤, >, ≥) равносильно неравенству r(x)−s(x)<0
(≤, >, ≥), а значит, и исходному»? Оно может быть как равносильно, так и неравносильно. Оно равносильно тогда, когда ОДЗ для выражения p(x)/q(x)
совпадает с ОДЗ для выражения r(x)−s(x)
. В этом случае последний шаг алгоритма будет излишним. Но ОДЗ для выражения p(x)/q(x)
может оказаться шире, чем ОДЗ для выражения r(x)−s(x)
. Расширение ОДЗ может происходить при сокращении дробей, как, например, при переходе от 
к . Также расширению ОДЗ может способствовать приведение подобных слагаемых, как, например, при переходе от 
к . Для этого случая и предназначен последний шаг алгоритма, на котором исключаются посторонние решения, возникающие из-за расширения ОДЗ. Давайте последим за этим, когда будем разбирать ниже решения примеров.
Пусть надо найти числовые значения х, при которых превращаются в верные числовые неравенства одновременно несколько рациональных неравенств. В таких случаях говорят, что надо решить систему рациональных неравенств с одним неизвестным х.
Чтобы решить систему рациональных неравенств, надо найти все решения каждого неравенства системы. Тогда общая часть всех найденных решений и будет решением системы.
Пример: Решить систему неравенств
(х -1)(х - 5)(х - 7) < 0,
Сначала решаем неравенство
(х - 1)(х - 5)(х - 7) < 0.
Применяя метод интервала (рис. 1), находим, что множество всех решении неравенства (2) состоит из двух интервалов: (-, 1) и (5, 7).
Рисунок 1
Теперь решим неравенство
Применяя метод интервалов (рис. 2), находим, что множество всех решении неравенства (3) также состоит их двух интервалов: (2, 3) и (4, +).
Теперь надо найти общую часть решении неравенств (2) и (3). Нарисуем координатную ось х и отметим на ней найденные решения. Теперь ясно, что общей частью решении неравенств (2) и (3) является интервал(5, 7) (рис. 3).
Следовательно, множество всех решении системы неравенств (1) составляет интервал (5, 7).
Пример: Решить систему неравенств
х2 - 6х + 10 < 0,
Решим сначала неравенство
х 2 - 6х + 10 < 0.
Применяя метод выделения полного квадрата, можно написать, что
х 2 - 6х + 10 = х 2 - 2х3 + 3 2 - 3 2 + 10 = (х - 3) 2 +1.
Поэтому неравенство (2) можно записать в виде
(х - 3) 2 + 1 < 0,
откуда видно, что оно не имеет решении.
Теперь можно не решать неравенство
так как ответ уже ясен: система (1) не имеет решении.
Пример: Решить систему неравенств
Рассмотрим сначала первое неравенство; имеем
1 < 0, < 0.
С помощью кривой знаков находим решения этого неравенства: х < -2; 0 < x < 2.
Решим теперь второе неравенство заданной системы. Имеем x 2 - 64 < 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.
Отметив найденные решения первого и второго неравенства на общей числовой прямой (рис. 6), найдем такие промежутки, где эти решения совпадают (пресечение решении): -8 < x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.
Пример: Решить систему неравенств
Преобразуем первое неравенство системы:
х 3 (х - 10)(х + 10) 0, или х(х - 10)(х + 10) 0
(т.к. множители в нечетных степенях можно заменять соответствующими множителями первой степени); с помощью метода интервалов найдем решения последнего неравенства: -10 х 0, х 10.
Рассмотрим второе неравенство системы; имеем
Находим (рис. 8) х -9; 3 < x < 15.
Объединив найденные решения, получим (рис. 9) х 0; х > 3.
Пример: Найти целочисленные решения системы неравенств:
х + y < 2,5,
Решение: Приведем систему к виду
Складывая первое и второе неравенства, имеем y < 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим
откуда -1 < x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.
Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств
Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса
С помощью данного урока вы узнаете о рациональных неравенствах и их системах. Решается система рациональных неравенств с помощью эквивалентных преобразований. Рассматривается определение эквивалентности, способ замены дробно-рационального неравенства - квадратным,а также разбирается в чем отличие неравенства от уравнения и как осуществляются равносильные преобразования.
Алгебра 9 класс
Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса
Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств.
1.1 Конспект.
1. Эквивалентные преобразования рациональных неравенств.
Решить рациональное неравенство означает – найти все его решения. В отличии от уравнения, при решении неравенства, как правило, возникает бесчисленное множество решений. Бесчисленное множество решений нельзя проверить методом подстановки. Поэтому, нужно так преобразовывать исходное неравенство, чтобы в каждой следующей строчке получалось неравенство с тем же множеством решений.
Рациональные неравенства решаются только с помощью эквивалентных или равносильных преобразований. Такие преобразования не искажают множество решений.
Определение . Рациональные неравенства называют эквивалентными , если множества их решений совпадают.
Для обозначения эквивалентности используют знак
2. Решение системы неравенств
Первое и второе неравенство – это дробно-рациональные неравенства. Методы их решения являются естественным продолжением методов решения линейных и квадратных неравенств.
Перенесем числа, стоящие в правой части, в левую с противоположным знаком.
В итоге в правой части останется 0. Это преобразование является эквивалентным. На это указывает знак
Выполним действия, которые предписывает алгебра. Вычтем «1» в первом неравенстве и «2» во втором.
3. Решение неравенства методом интервалов
1) Введем функцию. Нам нужно узнать, когда эта функция меньше 0.
2) Найдем область определения функции: в знаменателе не должен стоять 0. «2» - точка разрыва. При х=2 функция неопределенна.
3) Найдем корни функции. Функция равна 0,если в числителе стоит 0.
Поставленные точки разбивают числовую ось на три интервала – это интервалы знакопостоянства. На каждом интервале функция сохраняет знак. Определим знак на первом интервале. Подставим какое-нибудь значение. Например, 100. Ясно, что и числитель, и знаменатель больше 0. Значит и вся дробь положительна.
Определим знаки на остальных промежутках. При переходе через точку х=2 только знаменатель меняет знак. Значит, и вся дробь поменяет знак, и будет отрицательной. Проведем аналогичное рассуждение. При переходе через точку х=-3 только числитель меняет знак. Значит, дробь поменяет знак и будет положительной.
Выберем интервал соответствующий условию неравенства. Заштрихуем его и запишем в виде неравенства
4. Решение неравенства с помощью квадратичного неравенства
Важный факт.
При сравнении с 0 (в случае строгого неравенства) дробь можно заменить на произведение числителя на знаменатель или поменять числитель или знаменатель местами.
Это так, потому, что все три неравенства выполняются при условии, что u и v разного знака. Эти три неравенства эквивалентны.
Используем это факт и заменим дробно-рациональное неравенство квадратным.
Решим квадратное неравенство.
Введем квадратичную функцию. Найдем ее корни и построим эскиз ее графика.
Значит, ветви параболы вверх. Внутри интервала корней функция сохраняет знак. Она отрицательна.
Вне интервала корней функция положительна.
Решение первого неравенства:
5. Решение неравенства
Введем функцию:
Найдем ее интервалы знакопостоянства:
Для этого найдем корни и точки разрыва области определения функции. Точки разрыва выкалываем всегда. (х=3/2) Корни выкалываем в зависимости от знака неравенства. Наше неравенство строгое. Поэтому корень выкалываем.
Расставим знаки:
Запишем решение:
Закончим решение системы. Найдем пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства.
Решить систему неравенств означает найти пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства. Поэтому, решив первое и второе неравенство по отдельности нужно записать полученные результаты в одну систему.
Изобразим решение первого неравенства над осью Ох.
Решение же второго неравенства изобразим под осью.
